Название: Основы работоспособности технических систем. Автомобильный транспорт - учебное пособие (Атапин, В.Г)

Жанр: Технические

Просмотров: 3257


5.1. случайные процессы при технической эксплуатации

Понятие марковского процесса.  Если случайная величина изменяется в процессе опыта, то возникает случайная функция – функция, которая в результате опыта может принять тот или другой вид, заранее неизвестный.

Если аргументом случайной функции является время, то такая случайная функция называется вероятностным (случайным) процессом.

Понятие «поток событий» и «процесс» взаимосвязаны. Процесс смены состояний объекта, например, вызывается потоками отказов и потоками восстановлений.

Чтобы охарактеризовать вероятностный процесс, необходимо указать тип процесса и его числовые характеристики. Существует большое число различных типов вероятностных процессов. Для описания процессов, происходящих во многих областях науки и техники, наиболее подходящим является марковский процесс (в честь русского математика А.А. Маркова). Особенность этого процесса состоит в том, что вероятность любого состояния системы (например, автомобиля, группы автомобилей) в будущем зависит только от ее состояния в настоящее время и не зависит от того, когда и какими путями она пришла в это состояние. Так, работоспособность автомобиля в будущем зависит только от фактического технического состояния, к которому автомобиль может прийти по-разному.

В теории технической эксплуатации наибольшее применение находят цепи Маркова и марковские последовательности. В цепях Маркова четко определены состояния системы S1, S2, …, Sn. Переход из состояния в состояние осуществляется в дискретные моменты времени t1, t2, …, tk и определяется переходными вероятностями. Цепи Маркова хорошо иллюстрируются графом состояния системы, на котором кружками или прямоугольниками отмечены сами состояния и стрелками направления переходов. Если на графе под стрелками указаны вероятности перехода, то он называется размеченным графом состояний (рис. 5.1).

Марковские процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем (непрерывные цепи Маркова) характеризуют функционирование систем, у которых переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, а сами состояния дискретны, например, появление отказа, неисправности. Для этого процесса, который также может быть изображен графом, рассматриваются плотности вероятностей  переходов системы за время  из состояния  Si в состояние Sj :

         ,

 

 

Рис. 5.1. Размеченный граф состояний для марковского процесса

с непрерывным временем

где Pij – вероятность того, что за  система перейдет из состояния  Si  в состояние  Sj. При малом   . Если все  не зависят от t, то процесс называется однородным, а в противоположном случае – неоднородным.

 

Определение вероятностей состояний марковского процесса. Имея данные по плотностям вероятностей переходов  Pij, можно рассчитать вероятности всех состояний системы в разные моменты времени, т.е. определить вероятность первого состояния P1(t), второго P2(t) и т.д. Эти вероятности определяются из системы дифференциальных уравнений А.Н. Колмогорова, составляемых по следующим правилам:

1) в левой части уравнения помещается производная вероятности соответствующего состояния, например dP1/dt;

2) правая часть содержит столько членов, сколько переходов (стрелок в размеченном графе) связано с данным состоянием;

3) каждый член правой части уравнения равен произведению плотности вероятности перехода на вероятность того состояния, из которого переход осуществляется;

4) знак плюс ставится перед членами правой части уравнения при переходе в данное состояние, а знак минус – при выходе из данного состояния.

Например, для размеченного графа состояний (рис. 5.1) записывается следующая система уравнений:

        

        

        

        

Так называемые предельные состояния (при ) определяются из приведенной системы уравнений, у которых левые части приравниваются нулю, и условия, что P1 + P2 + P3 + P4 = 1. Эти финальные вероятности характеризуют среднее время пребывания системы в соответствующих состояниях  S1, S2, S3, S4.

Простейшие процессы. Одним из распространенных случаев марковского процесса с дискретным состоянием и непрерывным временем является простейший процесс, или поток, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Стационарным является поток, при котором вероятность возникновения событий (например, отказов) в течение определенного промежутка времени (или пробега) зависит только от длины этого промежутка и не зависит от начала отсчета времени. Для стационарного потока за интервал  х  количество отказов

         .

Ординарность означает, что вероятность возникновения на элементарном отрезке времени двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с длиной самого участка. Применительно к описанию надежности ординарность означает, что одновременное возникновение двух разных отказов у автомобиля практически маловероятно.

Отсутствие последействия – это независимость характера потока от числа ранее поступивших отказов и моментов их возникновения. На практике суммирование не менее 6...8 элементарных потоков приводит к образованию простейшего или близкого к нему потока. Для простейшего потока отказов вероятность возникновения определенного числа отказов в течение времени характеризуется законом Пуассона (рис. 5.2):

         ,

где k = 0, 1, 2, …– число отказов, возникающих за время t;  – параметр потока отказов.

В реальных условиях производства обычно фиксируют значение t, например, 1 ч, 1 смена, 1 неделя и т. д., т.е.  t = 1, а  – среднее число отказов, возникающих за время t. В этом случае

         .

Рис. 5.2. Вероятность возникновения требований по закону Пуассона в зависимости от                       среднего их числа

 

Поступление автомобиля в зону ремонта для устранения неисправности принято называть требованием. В реальных условиях требование может включать комбинацию неисправностей агрегатов и автомобилей.

Используя последнюю формулу, можно установить вероятность появления определенного числа требований Pk при известном значении а. Например, при значении а = 3 вероятность отсутствия требований , или 5 \%; вероятность появления одного требования 0,15; двух – 0,22; трех – 0,22; четырех – 0,16 и т.д. (рис. 5.2). Таким образом, загрузка постов и оборудования носит вероятностный характер: 22 \% от всех смен будет иметь фактическое число требований, совпадающее со средним, у 42 \% (5 + 15 + 22) загрузка будет меньше, а в 36 \% (100 – 22 – 42) случаев – больше средней.

Следовательно, расчет производственных помещений, оборудования, штата рабочих (т.е. пропускной способности предприятия, участка, поста) исходя из средней потребности может соответствовать неполной загрузке зон и участков или необходимости ожидания момента обслуживания (т.е. образованию очереди требований). В зависимости от стоимости простоя автомобилей в ожидании ремонта (Са), а также оборудования и рабочих в ожидании автомобилей (Со.р), требующих ремонта, определяют оптимальную пропускную способность зон, участков, постов ТО и ремонта. Эта задача решается с использованием теории массового обслуживания и из условия минимизации целевой функции:

         u = Са + Со.р.

Характерным признаком закона Пуассона является равенство дисперсии среднему значению, поэтому коэффициент вариации потока требований . Это означает, что с увеличением программы вариация ее фактического значения сокращается.

 

 Средняя программа     Коэффициент вариации

1…………………………       1     

2…………………………       0,71

3………………………  0,58

4………………………  0,50

5………………………  0,45

9………………………  0,30

25………………………         0,20

 

Закон распределения становится более симметричным с увеличением программы (рис. 5.2, при а = 6), что благоприятно сказывается на организации технологического процесса ТО и ремонта. Поэтому укрупнение предприятий, централизация и кооперирование ТО и ремонта, приводящие к увеличению программы работы, являются одним из направлений совершенствования технической эксплуатации автомобилей.

Еще одним важным свойством простейшего потока является то, что промежуток времени между двумя соседними событиями (отказами) подчиняется экспоненциальному закону распределения, для которого

         ,     .

Если поток обладает только двумя свойствами (ординарностью и отсутствием последействия), то он называется нестационарным пуассоновским и тогда за смену число событий за интервал  определяется следующим образом:

         .

Стабилизация параметра потока отказов или ее приведение на отдельных участках к стабильному значению позволяет рассматривать потоки как простейшие или пуассоновские и применять для характеристики потока уравнение Пуассона.

Если в марковских процессах с непрерывным временем все дискретные состояния располагаются в последовательную цепь с переходами (рис. 5.3), то это так называемый «процесс гибели и размножения». Очевидно, для первого состояния имеется равновесие ; для второго состояния , но, учитывая равенство для первого состояния, имеем , т.е. для данного процесса имеет место соотношение

         .

Рис. 5.3. Схемы марковских процессов:

а –  «гибели и размножения», б – циклического

 

Используя это соотношение, а также условие Р1 + Р2 +…+Рn = 1, определяем предельные вероятности:

         ;

         .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На крупном АТП имеется компрессорная станция, состоящая из трех одинаковых компрессоров, средняя выработка на отказ каждого из которых составляет . Поток отказов – простейший. Среднее время ремонта равно . Определить среднюю производительность станции при условии, что производительность трех компрессоров

W1 = 100 \%, двух W2 = 70 \%, одного W3 = 35 \%.

 

Решение

Поток отказов одного компрессора по условию является простейшим с экспоненциальным распределением наработки между отказами и параметром .

Если работают все три компрессора (состояние S1), то потоки отказов возрастают в 3 раза, т.е. (рис. 5.3, а). При работе двух компрессоров (состояние S2) – , одного (состояние S3) – . При состоянии S4 все три компрессора ремонтируются.

В рассматриваемой модели учитывается не только интенсивность отказов, но и интенсивность восстановления , которая при экспоненциальном законе распределения продолжительности восстановления равна обратной средней продолжительности ремонта , т.е. при работе одного компрессора , двух – , трех – .

Для ч и = 4 ч имеем:

        

        

           

Средняя производительность компрессорной станции в установившемся режиме

                Ответ   

Если средняя наработка на отказ будет ниже, например 32 ч, то вероятности соответственно составят:

         Р1 = 0,702;  Р2 = 0,265; Р3 = 0,032; Р4 = 0,001,

а средняя производительность компрессорной станции сократится до 0,89W1.

 

Если в марковском процессе с непрерывным временем дискретные состояния связаны между собой в одно кольцо и имеют односторонние переходы, то такой процесс называется циклическим. Например, автомобиль последовательно (рис. 5.3, б) может быть исправным и работать (S1), ожидать ремонта (S2), ремонтироваться (S3), ожидать работы после ремонта (S4) и снова работать (S1). Плотности вероятности переходов будут соответственно  Для предельных вероятностей, т.е. dP/dt = 0, и при переходе из первого во второе состояние имеем

          ,

далее           ,

          ;

при переходе в последнее состояние       ;

при переходе из последнего состояния в первое      .

 

Решая эту систему уравнений, получаем:

         ;

         ;  .

Так как рассматриваемый процесс – пуассоновский, среднее время пребывания системы в состоянии Si равно , откуда

         ;      .

Так, для вероятности

         ,

или в общем виде         .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим предельные вероятности для случая, рассмотренного на рис. 5.3, б, при условии, что , , , , где Тн – среднее время нахождения автомобиля в наряде.

 

Решение

         P1 = 1/2,29 = 0,44; P2 = 0,13; P3 = 0,08; P4 = 0,35.      Ответ