Название: Основы работоспособности технических систем. Автомобильный транспорт - учебное пособие (Атапин, В.Г)

Жанр: Технические

Просмотров: 3334


2.4. харачктеристики случайных величин и случайных событий

Основные причины, определяющие надежность изделия, связаны, как правило, со случайными явлениями, для описания которых применяется математический аппарат теории вероятностей. Так, отказ – это случайное событие, срок службы или наработка до отказа – случайная величина и процесс, приводящий к потере работоспособности (например, износ), – случайная функция. Поэтому в расчетах надежности многие параметры должны рассматриваться случайными величинами, т.е.

такими, которые могут принять то или иное значение, неизвестное заранее.

Случайные события.  Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом или испытанием понимают осуществление определенного комплекса условий.

Событие называют достоверным, если оно непременно произойдет в условиях данного опыта. Событие называют невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Событие называют возможным  или  случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться.

Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности появления этого события. Частота события – статистическая вероятность события – отношение числа появления данного события к числу всех произведенных опытов.

Характерным признаком случайного события является то, что оно принадлежит к категории массовых явлений (существует возможность неоднократного повторения опыта в заданных условиях). Примерами случайных событий, которые используются в прикладной теории надежности, являются:

а) событие, заключающееся в том, что на интервале времени от 0 до t  изделие непрерывно находится в работоспособном состоянии. Вероятность такого события обозначается P(t);

б) событие, заключающееся в том, что на интервале времени от 0 до t  изделие может перейти в отказовое состояние. Вероятность такого события обозначается Q(t);

в) событие, заключающееся в том, что работоспособное к моменту времени t  изделие перейдет за время  из состояния работоспособного (состояние 1) в состояние отказа (состояние 2). Вероятность такого события

         .

Группа событий А, …, В называется полной, если в результате опыта обязательно появится одно из событий. Например, событие А (изделие находится в работоспособном состоянии) и событие В (изделие находится в неработоспособном состоянии) составляют полную группу событий. Для полной группы событий сумма вероятностей всех возможных событий равна единице:

         ,

т.е. для изделия, которое может находиться в двух состояниях (А или В), вероятность появления хотя бы одного из состояний – событие достоверное.

Случайные события, следующие одно за другим в некоторой последовательности, образуют поток случайных событий. Так, отказы и восстановления в восстанавливаемом изделии образуют поток отказов и поток восстановлений.

 

Случайные величины.  Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принимать то или другое значение (заранее не известно, какое именно). В отличие от случайного события, являющегося качественной характеристикой случайного результата испытания, случайная величина характеризует результат испытания количественно.

Случайная величина может быть дискретной (число отказов за время t, число отказавших изделий при испытаниях заданного объема и т.д.) либо непрерывной (время работы изделия до отказа, время восстановления работоспособности). Представление о случайной величине дает закон распределения случайной величины – соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями.

Существуют следующие законы распределения.

1. Интегральный (функция распределения  или  функция вероятности) – вероятность того, что случайная величина  Х  может принимать значения меньше  х:

         .

Функция  является неубывающей функцией от х (монотонно возрастающей для непрерывных процессов и ступенчато возрастающей для дискретных процессов). В пределах изменения случайной величины  Х  функция   изменяется от 0 до 1.

Если случайная величина – наработка до отказа t, то вероятность того, что t  меньше заданного значения  , равна вероятности возникновения отказа на интервале от нуля до :

         .

Функция  обычно обозначается  Q(t) и называется функцией ненадежности.

Вероятность того, что на интервале времени от 0 до tз  не возникнет отказа, равна

         .

Функция    называется функцией надежности.

2. Дифференциальный (плотность распределения)– производная от F(x) по х:

         .

Функция  характеризует частость повторений данного значения случайной величины. В задачах надежности она используется как плотность вероятности.

Величины, определяющие характер распределения случайной величины (смещение центра группирования, рассеяние относительно центра группирования и др.), называются параметрами закона распределения. В ряде случаев достаточно характеризовать распределение случайной величины следующими параметрами:

Подпись:  

Рис. 2.3. Плотность вероятности и числовые характеристики центра группирования случайной величины: 
1 – медиана; 2 – мода; 3 – математиче-ское ожидание

– математическим ожиданием (среднее значение), модой и медианой, характеризующими положение центров группирования случайных величин по числовой оси (рис. 2.3);

– дисперсией, средним квадратическим отклонением и коэффициентом вариации, характеризующими рассеяние случайной величины.

Характеристики распределений используются в статистической трактовке (для обработки результатов наблюдений) и в вероятностной трактовке (для прогнозирования надежности).

Математическое ожидание (среднее значение) mx – основная и простейшая характеристика случайной величины Х. Значение математического ожидания, определяемое по результатам наблюдений как для дискретных, так и для непрерывных величин, называют оценкой математического ожидания (или оценкой среднего значения) :

         ,

где N – общее число наблюдений, xi – значение случайной величины. Черта над обозначением случайной величины означает среднее значение. При достаточно большом числе наблюдений (испытаний) полагают, что .

Дисперсия случайной величины Dx – математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. Слово «дисперсия» означает рассеяние и характеризует разброс случайной величины. Оценка дисперсии случайной величины – среднее значение квадрата разности между значениями случайной величины и ее средним значением:

         .

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Так как удобнее пользоваться характеристикой рассеяния, имеющей ту же размерность, что и случайная величина, то была введена характеристика – среднее квадратическое отклонение, представляющее собой корень квадратный из дисперсии, т.е.

         .

Для оценки рассеяния с помощью безразмерной (относительной) величины используют коэффициент вариации, равный отношению среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию, т.е.

         .

Квантилью называют значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности. Медианой называется квантиль, соответствующая вероятности 0,5. Медиана характеризует расположение центра группирования случайной величины. Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам. Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение или то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Для симметричного модального (т.е. имеющего один максимум) распределения математическое ожидание, мода и медиана совпадают.