Название: Математические модели в задачах охраны окружающей среды - Учеб. пособие (оротаева Т.А.)

Жанр: Гуманитарные

Просмотров: 742


Введение

Бурное развитие промышленности в большинстве стран мира обострило проблему сохранения экологических систем, исторически сформировавшихся в различных регионах планеты. Локальные загрязнения в результате выбросов промышленных предприятий во многих городах мира давно превзошли предельно допустимые санитарные нормы. Добыча угля, железной руды, цветных металлов и других полезных ископаемых привела к эрозии и загрязнению огромных территорий. Выбросы в атмосферу фреона из промышленных и бытовых холодильных установок уменьшают толщину озонового слоя атмосферы. Повышение концентрации углекислого газа в результате сжигания углеводородов нарушает тепловой баланс на планете. Вот далеко неполный перечень проблем, приводящих к глобальным нарушениям экологических систем. Поэтому так важен прогноз изменения экологических систем под влиянием естественных и антропогенных факторов. Такой прогноз опирается на исследование процесса загрязнения окружающей среды выбросами промышленных предприятий, определением которых занимается инженерная экология.

Инженерная экология – область знаний, включающая:

1) изучение воздействия на природную среду (биосферу) различных технологических процессов,

2) разработку и реализацию мер по улучшению качества окружающей среды.

Изучение воздействия на биосферу различных технологических процессов может осуществляться различными способами, один из которых – математическое моделирование. На современном этапе развития вычислительный эксперимент – это метод, предназначенный для изучения, прогнозирования и оптимизации сложных многопараметрических процессов, исследование которых традиционными методами затруднено или невозможно (например, управление климатом, изменение состояния экологических систем). Для этих случаев натурный эксперимент опасен и может быть выполнен один раз. На первом этапе вычислительного эксперимента формулируется математическая модель. Для этого, во-первых, необходимо определить область моделирования, поскольку невозможно рассмотреть явление в реальном масштабе. Во-вторых, требуется построить модель источника загрязнения. Так, если нас будет интересовать влияние промышленных источников загрязнения, то в процессе построения математической модели мы должны абстрагироваться от реального источника, заменив его некой областью, обладающей такими свойствами, как размер, форма, время действия и т.д.:

 

В-третьих, необходима модель среды, в которой происходит распространение загрязнения:

 

 

В-четвертых, нужно уметь моделировать сам процесс загрязнения с учетом агрегатного состояния и химического состава источника. Так, например, воздух загрязняется дымом, пылью, в атмосферу попадают различные вещества, такие как сернистый ангидрид, окись углерода, сероводород, окислы азота и т.д. Активное воздействие как на поверхность почвы, так и на глубинные пласты, происходит в районах нефте- и газодобычи. Поверхность почвы и плодородный слой также подвергаются воздействию при различных авариях на нефте- и газопроводах. Вода загрязняется бытовыми стоками и стоками промышленных предприятий. Все эти процессы должны также адекватно описываться используемой системой законов сохранения.

В.1. Общие принципы построения

математических моделей

При изучении любого явления вначале получают качественное описание проблемы. На этапе моделирования качественное представление переходит в количественное. На этом этапе определяют функциональные зависимости между переменными, входные и выходные данные системы. В настоящее время при численном решении задач прикладной математики сложилась следующая цепочка [1,2]:

Объект исследования → физическая модель → математическая модель → численный алгоритм → расчет → сравнение с натурными данными

Вычислительная часть этой цепочки – предмет математической технологии и нашего курса. Изобразим эту цепочку в виде блок-схемы (рис. В.1).

 

Рис. В.1. Основные этапы построения математических моделей

Объект исследования – рассматриваемые процессы. Моделирование начинается с анализа объекта исследования, а именно с определения набора определяющих явления параметров и функциональных связей между ними. Выделяются основные и второстепенные параметры и связи между ними.

Постановка задачи – качественная (физическая) модель. На основе анализа, проведенного на первом этапе, формулируется качественная (физическая) модель явления. При исследовании сложных систем необходимо максимально упростить задачу, для того чтобы выразить ее в достаточно простой математической формулировке. Успех или неудача всего исследования во многом зависит от согласования между упрощением и усложнением. Осуществлению проекта может помешать принятый уровень сложности физической модели, затрудняющий последующую формулировку математической модели.

Математическая модель – описание на языке математики – система уравнений. На этапе построения математической модели функциональные связи, выделенные на первых двух этапах, формулируются в виде законов сохранения.

Основное требование, предъявляемое к математической модели, – адекватное описание физических процессов, протекающих в рассматриваемых системах. Построение математической модели зависит от конкретного явления. Однако в основу каждой математической модели положен ряд общих требований:

система уравнений, составляющая математическую модель, должна быть замкнутой и непротиворечивой;

б) алгоритм решения задачи должен быть легко реализуем, т.е. затраты на создание программы и расчеты должны быть разумными.

Имитационная система – совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса + вспомогательные программы + информационные базы данных. В настоящее время под имитацией принято понимать экспериментальное изучение объектов исследования с реализацией на вычислительной технике математических моделей этих объектов. Законы сохранения, отображающие функциональные связи между определяющими явление параметрами, в общем случае представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. Необходимо разработать методы и алгоритмы численного решения этих уравнений, а затем создать программы. Далее наступает этап создания имитационной системы. Имитационная система включает в себя совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, набор вспомогательные программы и информационные базы данных.

Анализ возможных стратегий. На этом этапе анализируют точность результатов и допущений, принятых на этапе построения модели. Если основные допущения некорректны, необходимо вернуться к этапу постановки задачи.

В.2. Математический аппарат моделей,

основанный на законах сохранения

При построении математической модели изучаемого объекта из всех характеризующих его связей выделяются наиболее существенные. Эти связи записываются в виде уравнений, выражающих фундаментальные законы естествознания. Сами же объекты могут быть различными по своей природе – физическими, биологическими, техническими.

Закон сохранения – это схема рассуждений, а не конкретный математический аппарат.

Если последовательность рассуждений можно записать в виде

,

то будем говорить, что сформулирован закон сохранения. Здесь

t – время; ; ,  – количественная характеристика некоторого свойства -го элемента системы (например, масса, энергия и т.д.);  – признаки индивидуальности элемента системы (например, координаты, фазовые переменные). Причина изменения  называется воздействием.

В.3. Три уровня законов сохранения

Уровень однородных систем. Если все элементы системы имеют одинаковые, однородные свойства, то для свойств таких систем можно сформулировать законы сохранения первого уровня

            .           (В.1)

Пример

Второй закон Ньютона

.

Уровень неоднородных непрерывных систем. Число элементов задачи велико. При этом свойства элементов и воздействия, меняющие их, принимают все значения из допустимых интервалов, и все искомые функции являются гладкими. Искомая характеристика системы

            ,      (В.2)

где  – произвольный выделенный объем,  – плотность распределения величины в объеме . В этом случае закон сохранения имеет вид

            .   (В.3)

Воздействие :

а) – воздействие на каждый элемент системы внутри выделенного объема, – плотность воздействия;

б) – воздействие на поверхность объема;  – плотность распределения поверхностного воздействия;  – направляющие косинусы нормали к поверхности выделенного объема .

Пример

Модель газа может быть описана на микроскопическом и макроскопическом уровнях. Макроскопическая модель – модель сплошной среды, впервые была введена Эйлером и А’Ламбером и за 200 с лишним лет подтвердила свое право на существование. Законы сохранения, описывающие модель сплошной среды, – законы сохранения второго уровня. Предполагается, что масса среды непрерывно распределена по объему, молекулярное строение учитывается лишь через физические свойства – вязкость, теплопроводность, диффузию и т.д. В механике сплошной среды широко используются понятия «жидкая частица», «элементарный объем», что означает физически малый объем (рис. В.2), содержащий большое число молекул, но малый по сравнению с характерным размером задачи, т.е.

,

где  – длина свободного пробега молекул;  – линейный размер рассматриваемого объема;  – характерный размер задачи. Обозначим через  – объем;  – элемент поверхности;,  – единичный вектор внешней нормали,  (рис. В.2).

Считается, что движение элементарного объема полностью определяется заданием скорости, давления, плотности, полной энергии .

Для этих параметров можно сформулировать систему законов сохранения [3, 4]:

1. Закон сохранения массы

 – количество жидкости в объеме w. Если –  – поток массы, втекающей через элемент поверхности , то через всю поверхность втекает  вещества. Изменение количества жидкости в объеме определяется интегралом . Тогда уравнение сохранения массы при условии отсутствия внутри объема источников и стоков примет вид

            .         (В.4)

2. Закон сохранения импульса

Рассуждаем аналогично, но, принимая во внимание импульс объема и поток импульса через поверхность, получаем

                 (В.5)

 

3. Закон сохранения энергии

Аналогично можно получить уравнение сохранения энергии

            ,          (В.6)

где  – удельная внутренняя энергия. Система уравнений (В.4–В.6), дополненная уравнением состояния, полностью описывает движение невязкой, нетеплопроводной среды. Уравнения в интегральной форме применимы как для гладких, так и для разрывных функций, вид уравнений не зависит от системы координат. Но при этом чаще используется дифференциальная форма записи уравнений сохранения:

1. Закон сохранения массы. Используя формулу Остроградского–Гаусса, можно преобразовать интегралы по поверхности в интегралы по объему

.

При  получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме

            .         (В.7)

Используем оператор-вектор Ñ (набла)

;

;

.

Окончательно уравнение (В.7) примет вид

            .           (В.8)

Аналогично можно получить:

Закон сохранения импульса

            .            (В.9)

Закон сохранения энергии

            .       (В.10)

Уровень дискретных статистических систем. Система состоит из большого количества дискретных элементов, обладающих своими признаками индивидуальности. В этом случае для каждой подсистемы  можно сформулировать закон сохранения третьего уровня в виде

, .

Пример

Микроскопическая (молекулярная) модель представляет корпускулярную структуру среды, содержащую информацию о положении и скорости каждой молекулы среды. Такое подробное описание не всегда необходимо. В достаточно широком диапазоне, а именно, от поверхности Земли до высоты примерно 80 км. можно использовать макроскопическую модель – модель сплошной среды. Но и в рамках модели сплошной среды существует множество моделей различной степени полноты и сложности, учитывающих те или иные процессы. Рассмотрим некоторые, общепринятые на сегодняшний день модели.