Название: Анализ процессов в полупроводниковых устройствах - учеб. пособие (В.С. Данилов)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1490

1.2.1. общие свойства равновесия полупроводников

Фундаментальное уравнение состояния теплового равновесия, очевидно, подразумевает устойчивое состояние, следовательно,

            .    (1.32)

Поскольку внешние источники энергии, которые могли бы активизировать нетепловые события генерации отсутствуют, значит,

            g = 0.   (1.33)

Состояние равновесия также подразумевает отсутствие переноса заряда, который иначе вел бы к потреблению энергии, следовательно,

            .      (1.34)

При этих условиях внутренняя энергия полупроводника остается постоянной. Тепловые носители, сгенерированные за счет -энергии, в то же самое время рекомбинируют за счет потери энергии Rо и таким образом возвращают энергию кристаллу, которую они заимствовали для генерации. Подставляя (1.33) и (1.34) в любое из двух полученных уравнений непрерывности (1.25) и (1.26), получаем

            о.         (1.35)

Как покажем позже, значение  не зависит от того, находится

ли  полупроводник  в состоянии равновесия или нет. Рекомбинаторный

процесс, наоборот, зависит от преобладающего состояния. По этой причине обозначим внутренние переменные в состоянии равновесия индексом «о».

Итак, выражение (1.35) – уравнение равновесия, полученное из уравнений непрерывности.

Ни одно из условий (1.32)–(1.34) не воздействует на форму уравнения Пуассона, следовательно,

            . (1.36)

Из уравнений плотности тока при равновесии с учетом уравнения (1.34) можно получить

            ,           (1.37)

            . (1.38)

Закон действующих масс.  Приравнивая (1.37) и (1.38), получаем

            ,

что подразумевает независимость от позиции произведения электронов и дырок  в состоянии равновесия. Принимая во внимание равенство электронов и дырок в полупроводнике в состоянии равновесия [см. (1.35)], можно записать

            ,       (1.39)

где независимое от позиции количество носителей

              (1.40)

названо собственной концентрацией носителей в полупроводнике. В уравнении (1.40) С – константа, а Еg – ширина запрещенной зоны. Значение ni как функция температуры для трех типов полупроводников с различной шириной запрещенной зоны показано на рис. 1.12.

Связь между равновесными концентрациями электронов и дырок, как определено в уравнении (1.39), названа законом действующих масс. Он имеет большое значение при анализе устройств на полупроводниках, находящихся в равновесии [3].

Рис. 1.12. Температурная зависимость собственной концентрации

носителей в германии, кремнии и арсениде галлия

Уровни Ферми. Концентрации собственных носителей в полупроводнике достаточно формально могут быть выражены через уровни Ферми следующим образом:

            ,            (1.41)

            ,         (1.42)

где EF – энергия Ферми, а EFi – собственная энергия Ферми, которую формально можно представить как уровень, размещенный фактически посередине между EC  и ЕV . Уравнения (1.41) и (1.42) не зависят от действия поля (т. е. не связаны с уравнением Пуассона), но связаны с другими фундаментальными уравнениями. Эти уравнения могут быть расценены как математическое обоснование закона действующих масс (1.39). Последний подразумевает, что одиночная переменная ( или ) является следствием существования уровня Ферми ЕF.

Согласно (1.41) и (1.42) уровень Ферми, находящийся на энергетической диаграмме выше середины запрещенной зоны, т. е. , указывает на то, что  в области полупроводника, где это условие выполняется. Тогда в этой области электроны считаются основными, а дырки – неосновными носителями. Такая область имеет n-й тип проводимости и, очевидно, что в ней .

Противоположное условие, когда , указывает на то, что , следовательно, такой полупроводник или область полупроводника имеет p-й тип проводимости. При третьей возможности, когда , подразумевается равенство носителей в полупроводнике .

Эти случаи отражены на рис. 1.13, а–в. Стрелки указывают типы проводимости, а разница  названа потенциалом Ферми,

            ,         (1.43)

значение которого трансформирует уравнения (1.41) и (1.42) в

            ,           (1.44)

            .            (1.45)

При моделировании устройств выражения для  в терминах разности потенциалов более удобно, чем в терминах разности энергий. Из рис. 1.13 видно, что восходящая стрелка указывает на отрицательную разность потенциалов, но положительную разность энергий, а нисходящая – наоборот.

Пока EF-уровень энергии Ферми находится внутри запрещенной зоны, т. е. , полупроводник считается невырожденным. На границе невырождения концентрация основных носителей достигает очень большого значения, если концентрация еще больше, уровень Ферми выходит или в зону проводимости при n-м типе или в валентную зону при p-м типе. Такой достаточно формальный подход позволяет представлять  графически  концентрации носителей    на

а          б          в

Рис. 1.13. Энергетические диаграммы:

а – n-й тип  и  б – p-й типы проводимости;  в – собственный

полупроводник

энергетических диаграммах, что чрезвычайно облегчает анализ полупроводниковых устройств, находящихся в равновесии [3].

Несколько общих заключений, касающихся EF и jF. Подставляя (1.41) вместе с  из (1.31) в (1.37), получаем чрезвычайно важное заключение:

            .         (1.46)

Следовательно, уровень Ферми не зависит от местоположения, поскольку постоянство уровня Ферми для любой системы, находящейся в тепловом равновесии, есть прямое следствие второго закона термодинамики.

Используя уравнение (1.46) в (1.43), получаем , что подразумевает из (1.31) следующие соотношения:

                      (1.47)

Рис. 1.14. Общие свойства энергетической диаграммы гомогенной области полупро-    водника, находящегося в равновесии

и

            .           (1.48)

Постоянство EF и jF + Y на энергетической диаграмме в произвольных (но гомогенных) областях полупроводникового устройства, находящегося в равновесии, показана на рис. 1.14. Обратим внимание на параллельное изменение ЕС, ЕV и ЕFi в зависимости от их местоположения.