Название: Анализ процессов в полупроводниковых устройствах - учеб. пособие (В.С. Данилов)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1389


1.2.2. анализ в равновесии

Общее уравнение состояния равновесия. При анализе равновесия устройства на полупроводнике обычно известны структурные параметры, такие как тип и количество примесной концентрации, а также какие-то геометрические размеры. По этим данным необходимо определить одну или несколько внутренних переменных, таких как  или r, как функции местоположения или температуры. Состояние равновесия любого полупроводника может быть описано одиночным дифференциальным уравнением в терминах любой из предварительно упомянутых внутренних переменных. Например, при перезаписи уравнения Пуассона (1.36) с учетом (1.47) для Е, (1.45) для и (1.44) для  получим общее уравнение равновесия относительно потенциала Ферми jF

            .        (1.49)

Решение этого уравнения с известной примесью N и граничными геометрическими размерами выдает конфигурацию . Затем из (1.44) можно получить , из (1.45) – , из (1.48) – Y, Е – из (1.47) и r – из (1.4). Однако общее уравнение равновесия независимо от внутренней переменной может отразить точное аналитическое решение только для нейтральных областей, в которых плотность заряда r = 0. Все устройства на полупроводниках в действительности не содержат полностью нейтральных областей и даже если эти общие уравнения не дают точных решений, приближенные решения, основанные на некоторых предположениях и упрощениях, широко используются на практике.

Решения для нейтральных областей. Формирование нейтральных (не заряженных) областей обсудим с целью идентификации их расположения в структуре устройства, например биполярного эпитаксиального транзистора. Нейтральная область, в которой r = 0, упрощает уравнение (1.4)

            .           (1.50)

При перезаписи этого уравнения с  из закона действующих масс (1.39) и при решении относительно  получаем

             (1.51)

для электронной концентрации в нейтральной области при равновесии.

Далее полагаем, что во всех нейтральных областях полупроводниковых устройств примесная концентрация | N | значительно больше собственной концентрации . Принимая это пока как факт, упрощаем (1.51)

                 для     N > 0,       (1.52)

                 для     N < 0.       (1.53)

Распространяя эти рассуждения на дырочную концентрацию и принимая во внимание уравнение (1.39), получаем

                 для     N > 0,      (1.54)

                 для     N < 0.       (1.55)

Раз значения  и  определены из уравнений (1.44) и (1.45), можно определить и jF. На основании уравнений (1.52)–(1.55) нейтральные области полупроводника, находящегося в равновесии, можно охарактеризовать следующим образом:

Электроны – основные носители, если N > 0.

Дырки – основные носители, если N < 0.

Концентрация основных носителей фактически равна .

Концентрация неосновных носителей  мала по сравнению с концентрацией основных носителей.

Эти простые рассуждения очень полезны при анализе устройств, находящихся в равновесии. Они, конечно, имеют силу только в нейтральных областях, следовательно, анализируя работу устройства на полупроводнике, необходимо определить, где эти области могут существовать.

Определение нейтральных (незаряженных) областей. Запишем общее уравнение равновесия для носителей , используя уравнение Пуассона, уравнение (1.37) для Е и, принимая во внимание, что . Решив это уравнение относительно , получим:

            .      (1.56)

Это общее уравнение имеет силу в любой области полупроводника, находящегося в равновесии. При сравнении его с уравнением для нейтральных областей (1.51) видим, что область может быть рассмотрена как нейтральная, если

            ,          (1.57)

где

                         (1.58)

называется длиной Дебая.

Но также известно, что если область нейтральна, то  будет связана с N через (1.51). При использовании этого уравнения относительно  в (1.57) получаем

            ,      (1.59)

как необходимое условие, при котором область будет удовлетворять нейтральному состоянию. Для заданной концентрации в каком-то месте полупроводника N(x), уравнение (1.59) может быть использовано как «определитель нейтральности». Используем его для анализа нейтральности таких общих областей, как p–n-переходы, переходы высоко–низко, однородно-примесные области и области примесного градиента, отличного от нуля, и т.д.

Биполярный транзистор как полупроводниковое устройство содержит все эти особенности и поэтому может служить типичным примером использования при анализе всех полученных результатов. Типичный профиль распределения примесей в биполярном n–p–n-транзисторе, принятый по направлению эмиттер–подложка, показан на рис. 1.15, а. Концентрация N для эмиттерной, коллекторной областей

и подложки положительная, а в базе N – отрицательная величина. Эмиттер лежит между x = 0 и x = 0,75 mkm, база – x = 0,75...1,85 mkm,

а активный коллектор от x = 1,85 mkm до x = 8 mkm. По определению

p–n-переход формируется там, где N изменяет полярность. Структура биполярного транзистора имеет два таких перехода, разграничивающих эмиттер, базу и коллектор.

Постепенное изменение величины N между x = 8mkm и x = 11 mkm определяет местоположение перехода высоко–низко. Численные значения в зависимости от x, рассчитанные из уравнения (1.59), проиллюстрированы на рис. 1.15, б. Чем больше эти «рассчитанные значения», тем хуже нейтральность в данной области полупроводника. Исходя из этого можно заключить следующее:

окрестности p–n-переходов – определенно заряженное место, потому что рассчитанные значения там приближаются к бесконечности;

 

Рис. 1.15. Определение нейтральных областей в биполярной структуре:

а – типичный профиль примесной концентрации по направлению эмиттер–подложка;  б – значения, рассчитанные из уравнения (1.59), являющиеся индикатором степени нейтральности; в – распределение электрического поля

                                        по направлению эмиттер–подложка

хотя части перехода высоко–низко имеют достаточно большие рассчитанные значения, т. е. это место ближе к тому, чтобы считаться заряженным, для упрощения анализа примем предположение, что там все-таки нейтральная область;

области эмиттера и базы, исключая окрестности p–n-переходов, нейтральны, с хорошим приближением;

область активного коллектора «совершенно» нейтральна;

в нейтральных областях примесная концентрация носителей | N | намного больше собственной концентрации носителей ni. Собственная концентрация при комнатной температуре для кремния не превышает .

Опираясь на последнее заключение, величину электрического поля в нейтральных областях можно выразить подстановкой (1.52) или (1.53) в (1.37). Результат

                  (1.60)

дает профиль распределения электрического поля по направлению эмиттер–подложка, показанный на рис. 1.15, в. Заметим, что поле исчезает в «совершенно» нейтральной части коллектора. Это результат однородного уровня примесной концентрации активного коллектора. В «приблизительно» нейтральных эмиттере, базе и области перехода, высоко–низко примесный профиль неоднороден, поэтому поле отлично от нуля. Для физического объяснения наличия электрического поля в неоднородно примесной области рассмотрим, например, эмиттер. Профиль концентрации основных носителей  фактически идентичен N(x), следовательно, это – уменьшающаяся функция от направления х. С другой стороны, в эмиттере концентрация неосновных носителей  фактически идентична  и возрастают по направлению х. Из-за этих градиентов концентраций носителей электроны будут распространяться к базе и, таким образом, наводить электрическое поле по направлению к контакту эмиттера, а неосновные носители, дырки, будут распространяться к контакту эмиттера, наводя электрическое поле по тому же направлению. Результирующий поток будет очень небольшим из-за рекомбинации дырок и электронов. Это объясняет, почему предположение о нейтральности в области эмиттера – только приближение, хотя и хорошее. Читатель способен исследовать по тому же самому принципу степень нейтральности базы, коллектора и области высоко–низко в коллекторе. Согласно (1.60) электрическое поле в нейтральной области при равновесии определено исключительно примесным профилем концентрации и температурой. Это должно быть также верно и для контактной поверхности эмиттерной области, т. е. поверхности всего кристалла. С другой стороны, значение электрического  поля  на поверхности  может быть  наложено извне (поверхностный заряд),   поэтому  поверхностная  граница  эмиттерной  области  может   не быть нейтральной. Для того чтобы нейтральность распространялась и на

 

 

Рис. 1.16. Формирование поверхностного заряда, когда образовавшееся на поверхности поле        отличается от поля по уравнению (1.60)

поверхностную границу области, необходимо, чтобы не только примесный профиль удовлетворял (1.59), но и внешнее наложенное граничное значение поля, скажем Е(0), также соответствовало условию

            ,  (1.61)

где EN – поле, описанное уравнением (1.60).

Как показано на рис. 1.16, различие  уменьшается и исчезает на некоторой глубине, где нейтральность восстанавливается. Такая поверхностная область и манипуляции с ней лежат в основе работы всех МОП-транзисторов.

Итак в полупроводнике, находящемся в равновесии:

границы p–n-переходов определенно заряжены;

поверхность – вообще заряженное место, но она становится нейтральной, если граничное значение электрического поля удовлетворяет уравнению (1.61);

неоднородно легированные примесные области приблизительно нейтральны. Электрическое поле в таких областях отлично от нуля, но невелико;

однородно легированные примесные области «совершенно» нейтральны.