Название: Анализ процессов в полупроводниковых устройствах - учеб. пособие (В.С. Данилов)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1390


1.3.3. анализ неравновесной области при инжекции низкого уровня

Уравнения непрерывности для устойчивого состояния содержит  носителей, вычисленных по достаточно громоздкой формуле (1.73). При инжекции низкого уровня это уравнение можно использовать для определения сгенерированных носителей, предварительно упростив его. Более простая форма позволяет проводить анализ и неравновесных (нагруженных) областей полупроводника. Полупроводник n-типа имеет примесную концентрацию больше нуля (N > 0), при инжекции низкого уровня подразумевается  для основных носителей электронов (1.65). Для дырок в таком полупроводнике  (1.62). При использовании этих двух равенств в первом члене справа уравнения (1.73) получаем

            .

Так как , то

            .

Используя последнее равенство в (1.73), а также принимая  и  равными, пренебрегая р в сравнении с n (полупроводник n-типа) в знаменателе интеграла и, наконец, заменяя  на  (поскольку рассматривается инжекция низкого уровня), получаем

            ,       (1.74)

где ,

            .

Как показано на рис. 1.17, зависимость W(E) может быть аппроксимирована в прямоугольный вид, т. е.

                для   

                                и       . (1.75а)

            W(E) = 1     для    ,     (1.75б)

что позволяет упростить (1.74) до вида

            ,    (1.76)

где      .        (1.77)

Величина  называется эффективной плотностью ловушек в единице объема. Уравнение (1.77) и рис. 1.17 доказывают, что внутри неравновесной области при низком уровне инжекции ловушки могут вносить вклад в процессы генерации и рекомбинации только в диапазонах энергий внутри запрещенной зоны, попадающих в окно шириной , которое сосредоточено вблизи середины запрещенной зоны. Это окно и есть сосредоточение энергий глубоких локальных уровней. Этот диапазон энергий определяется исключительно примесной концентрацией N. Зная примесную концентрацию и плотность ловушек , теоретически можно вычислить  из (1.77), однако практически сделать это непросто. Обычно уравнение (1.76) выражают проще

            ,            (1.78)

где – время жизни неосновного носителя (дырки для полупроводника n-типа). Оно равно

                 (1.79)

и представляет собой структурный параметр. Существуют несколько экспериментальных способов определения времени жизни неосновных носителей.

 

 

Рис. 1.17. Окно энергий глубоких локальных уровней, на которых происходит рекомбинация                при низком уровне инжекции

Повторяя предшествующие рассуждения для неравновесного полупроводника р-типа, находящегося под действием низкого уровня инжекции, получаем

            ,             (1.80)

где .

Теперь можно строить форму инжекции низкого уровня из двух уравнений непрерывности, просто заменяя правые части уравнений (1.25) и (1.26) на (1.78) и (1.80) и игнорируя нетепловые процессы генерации .

Результаты следующие:

n-тип  , (1.81)

            ,    (1.82)

p-тип    (1.83)

                   (1.84)

Неосновные носители. Упрощенные уравнения непрерывности для низкого уровня инжекции позволяют анализировать области полупроводника по действию неосновных носителей в них. Общая плотность потока носителей в полупроводнике n-типа может быть выражена как

            , (1.85)

где  есть электронная составляющая общего потока носителей (основные носители). Дрейфовая составляющая потока неосновных носителей

            ,

а диффузионная составляющая

            .

Предположим теперь, что область полупроводника n-типа на границе имеет инжекцию низкого уровня. Поскольку область n-типа, то n >> p, даже если инжекция низкого уровня, а значит, поток дрейфа дырок (неосновных носителей) незначителен по сравнению с электронным дрейфовым потоком основных носителей, поскольку  и  имеют один и тот же порядок величины. Тогда, пренебрегая дрейфом дырок, получаем

            .             (1.86)

Поскольку возбуждение, приводящее полупроводник в состояние неравновесия – инвариант времени, то устойчивое состояние будет достигнуто, а при устойчивом состоянии (1.27) общий ток I не зависит от координаты. Подставляя (1.86) в (1.27), получаем

            .

Используя выражение (1.82), заменяя  на  из уравнения непрерывности и принимая во внимание то, что  равняется , а – фактически не зависит от координаты, поскольку возбужденная область считается однородно- или почти однородно-примесной, получаем

            ,      (1.87)

где

                (1.88)

Эта величина называется длиной свободного пробега неосновных носителей (в нашем случае – дырок). Итак, получаем уравнение, описывающее зависимость избыточных неосновных носителей от координаты. Решение уравнения (1.87) для различных областей (т. е. большей или меньшей длины свободного пробега) неравновесия выглядит следующим образом:

– для длинной

                для    L >> Lp,      (1.89)

где – значение избыточной концентрации дырок на границе области при ;

– для короткой

                для    << Lp,          (1.90)

где – граничное значение концентрации дырок в .

Как показывает уравнение (1.89), если неосновные носители имеют избыточную концентрацию на границе длинной неравновесной области, где L >> Lp, то избыточная концентрация падает по экспоненте в глубь области и исчезает совсем на расстоянии нескольких Lp от границы. Поэтому в глубине полупроводника концентрация неосновных носителей достигает равновесия , как показано на рис. 1.18, а. Физическим механизмом, уменьшающим избыточную концентрацию, служат рекомбинация для  и генерация для .

 

В том случае когда неосновные носители непрерывно вводятся в область на границе x = 0, т. е. , они диффундируют в глубь области и стимулируют рекомбинацию большинства из них. В глубине области излишек концентрации исчезает, рекомбинация уравнивается с генерацией, восстанавливая условие равновесия. Если , т. е. тогда, когда неосновные носители непрерывно извлекаются из области на границе x = 0 , уменьшается темп рекомбинации из глубины области к границе. Дополнительно термически сгенерированные неосновные носители непрерывно пополняют извлекаемое количество [3].

Согласно (1.90) избыточная концентрация неосновных носителей в короткой области длиной L << Lp, имеет линейную конфигурацию, изменяющуюся между двумя граничными значениями. Пример приведен на рис. 1.18, б.

 

Рис. 1.18. Пространственное изменение концентрации неосновных носителей для двух неравно-                            весных областей:

а – длина неравновесной области намного больше длины свободного пробега носителя; б – длина неравновесной области очень короткая (меньше, чем длина свобод-                           ного пробега носителя)

 

Поскольку неосновные носители распространяются главным образом за счет диффузии, линейный профиль концентрации подразумевает независимый от координаты ток неосновных носителей, который, в свою очередь, из уравнения непрерывности (1.25) подразумевает незначительную генерацию и рекомбинацию. Фактически процессы генерации и рекомбинации существуют, но область настолько коротка, что их воздействие на концентрацию неосновных носителей очень мало.

При повторении предшествующего анализа для области p-типа, работающей при инжекции низкого уровня в устойчивом состоянии, достигаем

            ,       (1.91)

где

            ,    (1.92)

                для    L >> Ln      (1.93)

и

            ,    для    L << Ln.          (1.94)

Как только мы получили профиль концентрации неосновных носителей, можно легко рассчитать плотность потока неосновных носителей для области:

– n-типа

            ,

– p-типа

            .

Профиль избыточной концентрации от действия электрического поля позволяет расширить предшествующий анализ для последующих действий.

 

Квазинейтральность и основные носители. Дифференцируя уравнение Пуассона (1.5) и принимая , поскольку область полупроводника нейтральна и находится в равновесии, получаем

            .

Вернемся к уравнению (1.85): игнорируя малую величину , заменяя концентрацию основных носителей n на N в , как подразумевается условием инжекции низкого уровня, используя определение длины Дебая (1.58) и заменяя  на , потому что , а , переписываем уравнение (1.85)

            .

Согласно (1.89) и (1.90) последний член этого уравнения равен:

– для  L >> Lp

            ,   

– для  L << Lp

            .

Этот член уравнения, однако, несоизмеримо мал в обоих случаях, потому что избыточная концентрация намного меньше, чем концентрация примеси при инжекции низкого уровня. Это дает основание упростить уравнение до вида

            .

Решая это уравнение с учетом того, что LD намного меньше, чем длина любой практической области устройства на полупроводнике, получаем

            .      (1.95)

Поскольку ток и концентрация (I и N) не зависят от координаты, то зависимое от координаты поле Е обосновано только показательным коэффициентом справа этого уравнения, т. е. . Однако LD –очень малая величина, намного меньше любой рабочей области устройства на полупроводнике, следовательно, только граничное значение поля E(0) максимально отлично от , а дальнейшее различие быстро исчезает на очень коротком расстоянии от границы, т. е.  быстро становится нулем.

Тогда уравнение (1.95) преобразуется в вид

            .      (1.96)

Однако согласно уравнению Пуассона независимое от координаты электрическое поле подразумевает плотность заряда равной нулю. Следовательно, можно предположить, что область полупроводника, подверженная действию инжекции низкого уровня, находящаяся в устойчивом состоянии, сохраняет нейтральность. В литературе это называется квазинейтральностью. При квазинейтральности, когда r = 0, . Однако поскольку при нейтральности в области полупроводника , то

            ,            (1.97)

т. е. избыточные электроны равны избыточным дыркам.

Тогда концентрация основных носителей в области полупроводника может быть выражена как

            .       (1.98)

В области полупроводника p-типа (N < 0, концентрация меняет знак) уравнение (1.97) имеет силу, а (1.96) и (1.98) соответственно заменяются на

            ,   (1.99)

            .     (1.100)

Граничные условия в омическом контакте. Большинство аналитических результатов предшествующего анализа областей полупроводника выражено в терминах граничного значения избыточной концентрации носителей. Эти рассуждения могут быть распространены и на поверхность полупроводника, где формируются омические контакты, а избыточная концентрация исчезает в глубине полупроводника независимо от свойств соседней области. Микроструктура этого контакта имеет бесконечно большую эффективную плотность ловушек , в бесконечно узкой основной области полупроводника, смежной с поверхностью. Как понятно из уравнений (1.79), (1.81) и (1.82), для области полупроводника n-типа высокая плотность ловушек  подразумевает  и  на границе, потому что иначе граничные значения  и  были бы бесконечно большими. Подобное заключение распространяется и на поверхностную область полупроводника

p-типа, завершаемую омическим контактом [4].