Название: Анализ процессов в полупроводниковых устройствах - учеб. пособие (В.С. Данилов)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1499

1.1.2. уравнения плотности тока

(или диффузионно-дрейфовые уравнения)

Как говорилось ранее, в полупроводнике существуют электроны свободные и валентные. В то время как все свободные электроны могут участвовать в переносе заряда без любого ограничения, число валентных электронов, которые могут осуществлять перенос заряда, ограничено числом доступных дырок, потому что валентный электрон нуждается в дырке, чтобы двигаться. Значит, в валентной зоне носителем заряда является дырка. Для движения носителей в полупроводнике характерны следующие ключевые свойства (рис. 1.4):

Кристалл полупроводника упакован неподвижными атомами и имеет подвижные носители заряда. При прохождении через кристалл носители часто сталкиваются с неподвижными атомами, передавая свою энергию кристаллу.

Рис. 1.4. Схематическая иллюстрация свободного движения электронов и дырок под действием электрического поля. Стрелки         указывают траектории движения

Носитель восстанавливает свою энергию после столкновения, поглощая тепловую энергию кристалла, и начинает перемещаться в произвольном направлении.

Если на кристалл действует электрическое поле, то в полете между двумя последовательными атомами носитель подвержен действию этого поля. Это действие – определенное (непроизвольное) ускорение в произвольном тепловом движении.

Следовательно, траектория движения носителя изогнута в направлении действия поля для дырки и в противоположном направлении для свободного электрона. Поскольку движение носителя фактически трехмерное, легко вообразить сложность аналитического описания этого движения. Мы попытаемся создать одномерную модель движения носителя, которая должна достаточно точно описывать реальные процессы.

Рассмотрим произвольное движение дырок, изображенных на рис. 1.5, в предположении, что все носители сталкивались во время   и что следующее их столкновение будет во время . Время t называют временем жизни носителя. При принятии нами одномерного движения по направлению  ожидаем половину дырок справа от какого-то сечения, а другую – слева, потому что направления, по которым движутся носители, произвольное. Разместим это сечение в середине между  и , скажем, в . Мы вправе ожидать, что все дырки слева от сечения, размещенные внутри достаточно малого расстояния  (например, дырка В), перейдут в свободном пробеге направо в течение периода наблюдения. Тем временем все дырки справа, которые первоначально размещались внутри расстояния  от сечения (например, дырка В¢), перейдут налево. Разница между значениями этих двух противостоящих потоков дырок есть плотность  на единицу площади сечения и может быть выражена как

            .

Решив это уравнение и разложив в ряд Тейлора  в первом и втором членах, преобразуем его

            .          (1.7)

В этом уравнении  и  по определению являются начальными границами, от которых дырки достигают сечения S за время  [3]. Их можно выразить через начальную тепловую скорость дырок и их дрейфовую скорость.

Рис. 1.5. Одномерное движение дырок

Кружками показаны дырки в момент времени . Стрелки указывают конечные позиции              дырок в момент времени

Участвуют в переносе заряда через сечение только те дырки, которые изначально располагались в  и .

Дырка А начинает свободный пробег от  с начальной (тепловой) скоростью . Это движение для  описывается как

            ,

где qE – сила, возникающая из-за воздействия электрического поля; mp – эффективная масса дырки.

Интегрируя это уравнение с начальными условиями от  и , до  и , получаем

            .              (1.8)

Здесь 

                    (1.9)

называется дрейфовой скоростью дырок.

Описание расположенных справа дырок, начинающих движение из  (например, дырка А¢), дает

            .            (1.10)

Как вытекает из (1.8) и (1.10), к произвольной тепловой скорости дрейфовая скорость добавляется полем с разными знаками. Это добавление и отличает среднюю скорость дырок при движении слева  и справа . Подставляя (1.8) и (1.10) в (1.7) и считая, что электрическое поле очень мало, т. е. , получаем уравнение плотности для дырок

            .         (1.11)

Здесь

                       (1.12)

называется коэффициентом диффузии дырки, который расценивается как структурный параметр материала.

При подстановке в (1.11) значения  из (1.9) получаем более популярную форму уравнения плотности

            ,             (1.13)

где параметр

                       (1.14)

известен как коэффициент подвижности дырки.

Из уравнений (1.9) и (1.14) можно вывести связь между дрейфовой скоростью, подвижностью и полем

            .        (1.15)

Подвижность непосредственно связана с коэффициентом диффузии через уравнение Эйнштейна. Чтобы получить эту связь, вспомним, что средняя кинетическая энергия дырки при одномерном движении равна , при трехмерном – , где  – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура. Следовательно, можно записать уравнение: , из которого получаем .

При замене в (1.12)  и сравнении полученного результата с (1.14) приходим к соотношению Эйнштейна

            ,      (1.16)

где  – величина, называемая тепловым потенциалом, имеет значение 25,8 мВ для комнатной температуры Т = 300 К [2].

Заменяя дырки электронами в предшествующем анализе, получаем уравнение плотности для электронов. При этом q заменяем на – q и mp на mn соответственно. Итак, получаем:

из (1.11)          ,  (1.17)

из (1.13)          ,    (1.18)

где

            ;      (1.19)

            ;         (1.20)

            .     (1.21)

Уравнения плотности (1.13) и (1.18) входят в пять фундаментальных уравнений анализа устройств на полупроводниках.

Многомерные формы уравнений плотности выглядят так:

            ,

            .

Эти уравнения плотности потока носителей в правой части имеют два члена. Первое слагаемое представляет компонент дрейфа, а второе – компонент распространения (диффузии). Дрейф возникает из-за смещения носителей электрическим полем. Как вытекает из (1.13) и (1.18), потоки ориентированы в том же самом направлении, что и электрическое поле, независимо от типа носителя, однако направление основного движения дрейфа противоположно полю в случае свободных электронов и совпадает с полем в случае дырок. Это происходит из-за противоположных полярностей зарядов этих двух типов носителей. Как показывают уравнения плотности, концентрация носителей изменяется с расстоянием. Действительно, если концентрация носителей на одной стороне сечения полупроводника выше, чем на другой, то в силу случайности теплового движения большее количество носителей за единицу времени перейдет со стороны с высокой концентрацией к стороне с низкой концентрацией. Отсюда очевидный вывод: носители распространяются (диффундируют) в направлении уменьшающейся концентрации.

Очевидно, что суммарная плотность потока носителей в полупроводнике – сумма плотностей потока дырок и свободных электронов

            .        (1.22)

В двух полученных уравнениях плотности эффект перемещения носителя определяется параметром подвижности. Рассмотрим этот важный параметр подробнее. Во-первых, подвижность свободных электронов и дырок различна, потому что эффективные массы этих носителей – mp и mn – неодинаковы. Во-вторых, подвижность носителя пропорциональна среднему времени t, которое он проводит в свободном пробеге между двумя узлами, как это подтверждают уравнения (1.14) и (1.20). Очевидно, что t уменьшается с увеличением плотности рассеивающих узлов (атомов). По этой причине и mp и mn уменьшаются при увеличении концентрации примеси, как показано на рис 1.6.

Важно обратить внимание на то, что данные, приведенные на рис. 1.6, неприменимы к случаю переноса носителей вблизи кристаллической поверхности, где присутствуют дополнительные рассеивающие центры  и  подвижность  носителей уменьшается еще больше. Это

Рис. 1.6. Зависимость подвижности носителей от изменения концентрации

примеси в кремнии

касается полупроводниковых устройств, называемых МОП-транзисторами, в которых перенос зарядов ограничен узкой областью, граничащей с поверхностью. Данные на рис. 1.6 применимы для биполярного транзистора, в котором носители движутся в объеме полупроводника. Подвижность – также функция температуры. Эта зависимость больше проявляется в более чистом, т. е. собственном, или слегка примесном полупроводнике, в которых преобладает тепловое движение носителей. Из выражений (1.14) и (1.20) вытекает, что подвижность не зависит от электрического поля. Это действительно имеет место, когда поле слабое, в сильных полях для некоторых типов полупроводников, например GaAs, подвижность падает. Существует линейная связь между дрейфовой скоростью носителей и полем, как это показано на рис. 1.7. В конечном счете дрейфовая скорость достигает приблизительно 107 см/с  для обоих типов носителей в кремнии.

Рис. 1.7. Дрейфовая скорость носителей как функция

электрического поля