Название: Анализ процессов в полупроводниковых устройствах - учеб. пособие (В.С. Данилов)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1389


1.1.3. уравнения непрерывности

В разд. 1.1.2 было упоминание о том, что количество собственных носителей р и n (т. е. для собственного полупроводника) может изменяться во времени, без обсуждения причин таких изменений. Рассмотрим совокупность дырок в каком-то выделенном объеме полупроводника. Вполне может оказаться, что за единицу времени число дырок, входящих в объем с одной стороны, не равно числу дырок, выходящих из него с другой стороны; т. е. дырочный поток  пространственно изменяется. Это касается и электронного потока . Этот эффект совершенно аналогичен появлению временного колебания численности населения в городе, так как она может изменяться со временем из-за неравных чисел рожденных и умерших. Таким образом, временное изменение количества дырок или электронов влечет пространственное изменение плотности их потоков , если процессы генерации и рекомбинации не сбалансированы. Связь между  и этими двумя процессами описывают два уравнения непрерывности, одно относится к дыркам, другое – к свободным электронам.

Генерационные и рекомбинационные процессы.  Известно, что валентные электроны, освобождающиеся от связей, уходят, оставляя дырку. Куда может уйти электрон? Первая возможность – заполнить другую не занятую валентную связь и, таким образом, переместить дырку в противоположном направлении. Электрон остается в валентной зоне и на энергетической диаграмме, он оставляет один уровень энергии в валентной зоне, переходя на другой в этой же зоне. Вторая возможность – получив достаточную энергию, покинуть валентную зону. Если поглощенная электроном энергия превысит энергию  (т. е. энергию запрещенной зоны), он переместится в зону проводимости и станет свободным. Меньшее количество энергии, но большее, чем , заставляет электрон переходить на уровни внутри запрещенной зоны. Процесс прямого перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости генерирует свободную электронно-дырочную пару. Этот процесс назван прямой генерацией. Переход валентного электрона к уровню в запрещенной зоне генерирует только дырку, поскольку электрон, остающийся в запрещенной зоне, несвободен. Этот процесс назван эмиссией дырки. Третий возможный процесс генерации – переход электрона из запрещенной зоны в зону проводимости. Электрон становится свободным, разумеется, если поглотит достаточно энергии, чтобы совершить этот переход. Этот процесс назван электронной эмиссией.

Электрон не может всегда занимать высокий уровень энергии, он ее теряет. Процессы рекомбинации аналогичны процессам генерации, только в обратном порядке. Процессы генерации и рекомбинации показаны на рис. 1.8.

Двусторонний прямой переход электронов между зоной проводимости и валентной зоной доминирует в составных полупроводниках типа А3В5. В кремнии процессы генерации и рекомбинации идут через энергетические уровни внутри запрещенной зоны. По этой причине в высокочастотных полупроводниковых устройствах составные полупроводники предпочтительнее. Энергия, требуемая для генерации, обеспечивается тепловым запасом кристалла или другими источниками, например воздействием частиц или радиации и т.п.

Рекомбинация, наоборот, высвобождает энергию или обратно в кристалл в виде тепла, или во внешнее пространство в виде фотонов.

 

 

а          б          в          г          д          е

Рис. 1.8. Электронный переход между зонами валентной, 

запрещенной и проводимости:

а – прямая генерация; б – эмиссия дырки; в – электронная эмиссия; г – «удаление» электрона; д – «удаление» дырки; е – прямая                                           рекомбинация

Вывод уравнений непрерывности.  Рассмотрим выделенный бесконечно малый объем полупроводника , показанный на рис. 1.9. Различие между генерацией  и рекомбинацией  в каждый момент времен, зависит от временного изменения в концентрации дырок (p) внутри бесконечно малого объема (A dx). Связь между этими изменениями описывает уравнение непрерывности.

 

 

Рис. 1.9. Различие в плотности потока дырок до

и после выделенного объема

 

Положим, к выделенному объему полупроводника поступает какой-то поток дырок . В объеме в единицу времени сгенерируются дырки в количестве , где (см–3×с–1) и g (см–3×с–1) – количество тепловых и нетепловых сгенерированных дырок. В этом же объеме за то же время произойдет рекомбинация дырок в количестве . Входной поток  приносит в объем  дырок в единицу времени, а за это же время из объема  удаляется  дырок.

Следовательно, увеличение числа дырок в объеме в единицу времени, описываемое как , может составить

            .

Разделив обе стороны уравнения на независимый от времени объем  и заменив  на , т. е. переход к потоку в точке, получаем

            ,             (1.23)

где – число сгенерированных дырок.

Аналогично рассуждая, получаем уравнение для свободных электронов

            ,    (1.24)

где – число полученных свободных электронов.

Выражения (1.23) и (1.24) и есть уравнения непрерывности для дырок и свободных электронов в одномерной форме. Их многомерные формы таковы:

            ,

            .

Поскольку большинство устройств на полупроводниках большую часть времени работают при постоянном напряжении (т. е. подразумевается, что протекающие в них процессы, стационарны), при анализе и моделировании можно воспользоваться упрощенными уравнениями непрерывности, в которых исчезают производные времени. Тогда получаем:

для дырок

            ,               (1.25)

для электронов

            .   (1.26)

Из этих упрощенных уравнений следует, что при статическом состоянии устройства на полупроводнике (т. е. при постоянном напряжении) количество сгенерированных свободных электронов и дырок одинаково. Это значит, что количество электронов, перемещающихся в валентной зоне какого-то объема полупроводника за единицу времени, равно количеству электронов, перешедших в зону проводимости в том же самом объеме за то же самое время, поэтому нижние индексы h и e в выражениях (1.25), (1.26) опущены.

Для полупроводникового устройства, находящегося в статическом состоянии, из уравнений (1.25) и (1.26) можно сделать еще один важный вывод:

            .

Поскольку общая плотность потока носителей , то

            .             (1.27)

Следовательно, общая плотность потока носителей в полупроводниковом устройстве в стационарном состоянии не зависит от координаты x [2].