Название: Функциональный анализ - курс лекций (Н. Б. Иткина)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1241


Метрические пространства

Называя некоторое множество пространством, в функциональном анализе обычно наделяют его одним или несколькими свойствами обычных пространств, изучаемых в элементарной геометрии. Основные свойства пространства:

в пространстве определено расстояние между любыми двумя точками;

из любой точки пространства можно непрерывно (не выходя из этого пространства) перейти в любую другую точку; при этом каждую точку можно заключить в некоторую как угодно малую «окрестность» этой точки, представляющую собой подмножество множества всех точек этого пространства;

в пространстве определено понятие вектора (элемента) пространства и операции сложения элементов (векторов) пространства и умножения вектора на число.

Наделяя абстрактное пространство каким-нибудь одним, или любыми двумя, или тремя из этих свойств, мы получаем различные типы пространств, которые изучаются в функциональном анализе. Опираясь на известные свойства расстояния между точками в трехмерном пространстве, аналогично введем понятие расстояния между двумя точками в любом пространстве.

Определение. На множестве X определена структура метрического пространства, если задана функция пары аргументов , которая обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

Функция называется метрикой или функцией расстояния между точками x и y. Тогда пара образует метрическое пространство.

Примеры метрик:

1) множество n-мерных векторов  с метрикой:  образует метрическое пространство;

2) множество n-мерных векторов  с метрикой:  образует метрическое пространство.

Замечание. Одно и то же множество с различными метриками образует различные метрические пространства.

Открытые и замкнутые множества

Определение. Открытым шаром радиуса r с центром в точке x называется множество . Замкнутый шар: .

Определение. Окрестностью точки xÎX называется любое открытое множество, содержащее эту точку. Обозначение:  – окрестность точки x;  – окрестность точки x радиуса .

Определение. Пусть , тогда точка называется предельной точкой множества Y, если каждая окрестность точки x содержит, по крайней мере, одну точку y: .

Определение. Точка  называется изолированной точкой множества Y, если существует окрестность точки y, не содержащая ни одной точки из Y, кроме самой точки y.

Определение. Точка  называется внутренней, если она содержится в Y вместе с некоторой своей окрестностью.

Определение. Множество в метрическом пространстве называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Определение. Множество в метрическом пространстве называется открытым, если все его точки внутренние.

Определение. Замыкание множества Y (обозначение: ) есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих Y, т. е. замыкание – это наименьшее из всех замкнутых множеств, которое содержит Y.

Определение. Пусть – метрическое пространство, на множестве Y, принадлежащем метрическому пространству X, определена та же метрика  (поэтому Y тоже будет метрическим пространством), тогда пара  называется подпространством .

Определение. Множество A Ì X называется ограниченным, если существуют такой элемент  и постоянная , что .

Определение. Множество X называется связным, если его нельзя представить в виде суммы двух непустых замкнутых (или двух непустых открытых) непересекающихся подмножеств.

Определение. Пусть A и B – два множества в метрическом пространстве X. A называется плотным в множестве B, если Ì , и всюду плотным в пространстве X, если .

Определение. Пространство, в котором существуют счетные, всюду плотные множества, называется сепарабельным.

Пример сепарабельного пространства. Пространство , с метрикой . В метрическом пространстве  счетное, всюду плотное множество – это множество точек, у которых все координаты – рациональные числа.

Определение. Множество A называется нигде не плотным в метрическом пространстве X, если любое открытое множество этого пространства содержит другое открытое множество, целиком свободное от точек множества A.

Определение. Множество A, расположенное в метрическом пространстве, называется совершенным, если оно замкнуто и если каждая точка этого множества является его предельной точкой.

Определение. Объединение открытых множеств  такое, что ,  называется открытым покрытием множества A. Множество A называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.

Замечание. Всякое компактное множество ограничено.

Замечание. Всякое компактное множество замкнуто.

Замечание. Обратное утверждение в общем случае неверно.

Сходимость и непрерывность отображений

в метрическом пространстве

Определение. Последовательность  точек метрического пространства X называется сходящейся к точке xÎX, если любая окрестность точки x:  содержит все точки этой последовательности, начиная с некоторого номера (за исключением конечного их числа), т. е. .

Определение. Последовательность  элементов метрического пространства называется фундаментальной, если для нее выполняется условие Коши: .

Замечание. Всякая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве является фундаментальной, но не всякая фундаментальная последовательность элементов метрического пространства будет сходящейся в этом пространстве. В любом конечномерном пространстве  условие Коши является не только необходимым, но и достаточным для сходящейся последовательности. В общем случае в функциональных пространствах это не так.

Пример. Рассмотрим в качестве пространства  интервал  с метрикой . Последовательность  фундаментальная, так как , при , но эта последовательность не сходится ни к одному элементу пространства , так как элемент, к которому она сходится x = 0, не принадлежит пространству X.

Определение. Отображение  одного метрического пространства  в другое  называется непрерывным в точке x, если для любой окрестности точки найдется такая окрестность точки x–, что будет выполнено: . Если отображение  непрерывно в каждой точке пространства , то оно называется непрерывным на .

Лемма. Отображение  непрерывно тогда и только тогда, когда полный прообраз любого открытого множества открыт.

Лемма. Пусть отображение  – отображение метрического пространства  в метрическое пространство . Непрерывность  эквивалентна следующему свойству: если  и , то и .

Пополнение метрических пространств

Определение. Метрическое пространство  называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится к элементу данного пространства.

Замечание. Не всякое метрическое пространство является полным.

Замечание. Две метрики на множестве элементов пространства X называются эквивалентными, если сходимость элементов по одной из них означает сходимость и по другой.

Определение. Взаимно однозначное отображение одного метрического пространства  в другое метрическое пространство называется изометрией, если "ÎX выполняется . В этом случае  и  называются изометричными друг другу.

Во многих прикладных задачах функционального анализа целесообразно иметь дело с полными пространствами. Поэтому естественно возникает вопрос о возможности расширения неполного метрического пространства (пополнения) до полного. Рассмотренный пример указывает путь, который во многих случаях приводит к цели – включить в данное пространство дополнительные элементы, представляющие собой пределы всех фундаментальных последовательностей, принадлежащих некоторому пространству, содержащему данное пространство, с той же метрикой, что и данное пространство.

Определение. Полное метрическое пространство  называется пополнением метрического пространства  (с той же метрикой), если  является подпространством пространства  и замыкание  совпадает с пространством . Значит, любое метрическое пространство можно пополнить, т. е. оно может быть вложено в другое полное метрическое пространство Y такое, что в метрическом пространстве Y существует всюду плотное подпространство , изометричное исходному пространству .

Теорема. Если ,  плотно в Y и каждая фундаментальная последовательность точек пространства  имеет в Y предел, то пространство Y представляет собой пополнение пространства .

Теорема. Для любого метрического пространства  существует его пополнение , причем это пополнение единственно с точностью до изометрии.

Теорема (принцип вложенных шаров). Для того чтобы метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая фундаментальная последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Доказательство: Необходимость. Пусть – полное метрическое пространство,  – вложенные друг в друга замкнутые шары. Последовательность центров этих шаров будет фундаментальной, так как . Поскольку пространство полное, существует элемент , xÎX. Покажем, что xÎ. Действительно: " n точка x – предельная точка для шара . А так как все шары замкнуты, то xÎ " n, а значит,  xÎ.

Достаточность. Покажем, что если – фундаментальная последовательность, то её Î X. Выберем точку  "  > . Примем точку  за центр замкнутого шара с радиусом , т. е. . Выберем точку :  "  и . Пусть уже построены точки:  где  – центр  и , "

В итоге получили последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю. По предположению, существует точка x – общая для всех шаров. Расстояние . Таким образом, для фундаментальной последовательности  существует подпоследовательность , которая сходится к элементу метрического пространства X. А значит, к этому же элементу будет сходиться и сама последовательность, т. е. пространство X – полное, так как любая фундаментальная последовательность сходится к пределу  x  из пространства X.

Замечание. Все условия теоремы являются существенными – полнота пространства, замкнутость шаров, условие вложенности шаров и то, что их радиусы стремятся к нулю. Можно привести пример, когда несоблюдение одного из условий приводит к тому, что пересечение вложенных шаров оказывается пустым.

Пример: Пусть дано метрическое пространство (N, ), где N – множество натуральных чисел и . Определим последовательность вложенных шаров с центром в точке n и радиусом : . Шары  замкнуты и вложены друг в друга, пространство (N, ) – полно, так как каждая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве. Но условие стремления к нулю радиусов шаров нарушено, поэтому пересечение вложенных шаров пусто.

Определение. Отображение называется сжимающим отображением или сжатием, если существует такое число Î(0, 1), что где x, yÎX.

Теорема (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства  самого в себя имеет одну и только одну неподвижную точку, т. е. такую точку xÎX: .