Название: Моделирование и анализ нелинейной динамики - Лабораторный практикум (Хиценко В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1265


Введение

           

 Давно замечена аналогия между сложными режимами в гидродинамике, химической кинетике, механике и электронике. В основе этого сходства лежит современная теория нелинейных динамических систем.

Динамической системой называется система любой природы (физическая, химическая, электромагнитная, биологическая, экономическая и т.д.), которая может быть математически описана в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, разностных уравнений, отображений прямой или плоскости. Другими словами, здесь исследуются любые эволюционирующие системы.

В данном цикле лабораторных работ мы будем изучать особенности процессов, протекающих в  нелинейных динамических системах.  В таких системах возможны качественно различные режимы функционирования, зависящие от начальных условий, величины внешних воздействий и параметров.  Недавно в теории динамических систем появилось  новое направление, связанное с понятиями "детерминированный хаос", "странный аттрактор", "фрактал".

Детерминированным хаосом называют режим непериодических флуктуаций, внешне не отличающихся от случайного процесса. При этом в системе нет источников шума, и описывается она системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Так что этот хаос имеет неслучайное происхождение. Такие хаотические поведения характерны также гиперчувствительностью к погрешности начальных условий, что резко ограничивает возможности прогнозирования даже при использовании точных моделей системы. Подобные режимы встречаются в релейных системах и системах с импульсной модуляцией, в нелинейной оптике, механике, акустике, физике плазмы, теории твердого тела, в задачах биологии и экологии и т.д. Появляются сообщения о целенаправленном использовании режима детерминированного хаоса для защитного кодирования информации. С ростом сложности объектов все нужнее надежные методы выявления и анализа таких режимов. Естественно, что при проектировании систем управления такими объектами необходимо иметь в виду возможность возникновения хаотических колебаний и принимать меры для предотвращения хаоса или для его поддержки, если этот режим желателен или единственно возможен и устойчив при работе сложной системы.

Данный цикл лабораторных работ вводит студентов в проблематику нелинейной динамики. В ходе  лабораторных работ осваиваются основные понятия, режимы, приемы исследования и моделирования нелинейных динамических систем, качественно отличающиеся от методов и моделей линейной теории.

         Последовательность изменений поведения, с которой мы познакомимся в работе №1, приводит к представлению о динамическом хаосе как о предельном режиме, получающимся усложнением периодических траекторий. Обнаруженный численно «закон Фейгенбаума» показывает, что цепочка бифуркаций (качественных смен поведения) типа удвоения периода обладает определёнными свойствами универсальности. То есть, константы Фейгенбаума свойственны различным системам, допускающим режим детерминированного хаоса.

Странным аттрактором называют геометрическое место фазовых траекторий систем в хаотическом режиме. Другими словами, это множество точек в фазовом пространстве, куда втягиваются траектории, начинающиеся в бассейне притяжения данного аттрактора. В пределах странного аттрактора траектории ведут себя вполне хаотически в отличие от обычных аттракторов типа устойчивых узлов и фокусов.

 Исследования последних лет, главным образом физического характера показывают, что странные аттракторы часто возникают в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных или разностных уравнений.

 Математических результатов, относящихся к теории детерминированного хаоса сравнительно немного. По существу, более или менее изученными можно считать лишь системы разностных уравнений первого и второго порядка (лабораторные работы №1 и №2) и дифференциальных уравнений третьего порядка (лабораторные работы №3 и №4). Фактически мы мало что знаем  о динамике и структуре реальных странных аттракторов в пространствах размерности, большей трех.

          При выполнении лабораторных работ используются программы ODE, Feugbaum, Fractint, WinSet, взятые из приложений к книгам [12, 13]. Все программное обеспечения цикла лабораторных работ может быть найдено на сайте кафедры автоматики НГТУ http://ait.cs.nstu.ru/