Название: Моделирование и анализ нелинейной динамики - Лабораторный практикум (Хиценко В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1265


                                   лабораторная работа  1 анализ одномерных отображений

 

      Цель работы – знакомство с особенностями хаотических режимов в простейших динамических системах, освоение терминологии, методов моделирования и анализа.

 

                                  Теоретическое описание

 

Динамика многих сложных систем может быть описана разностными уравнениями, связывающими состояния системы в дискретные моменты времени. Эта модель может быть результатом аппроксимации дифференциальных уравнений систем с непрерывной динамикой, но встречаются системы, состояния которых меняются или фиксируются лишь в изолированные моменты времени.

Состояние такой системы в момент k характеризуется вектором xk=(x1k, x2k, … ,xnk). Если следующее состояние однозначно определяется текущим, то динамика моделируется разностным уравнением вида  xk+1=F(xk). В случае влияния предыстории развития системы имеем модель xk+1=Ф(xk, xk-1, xk-2,…), которую можно привести к предыдущему виду, расширяя пространство состояний, то есть, вводя в вектор состояний дополнительные запаздывающие переменные.

Если размерность системы n=1, то пространством ее состояний (фазовое пространство) будет числовая ось R1 . Моделью динамики может служить разностное уравнение первого порядка   xk+1=f(xk),  и соответствующее ему отображение  R1 в  R1 называется одномерным. Поведение дискретных систем можно рассматривать как итерации, порождаемые рекурсивной схемой следующего вида

 

                       xk+1=f(xk)  , k=0, 1, …                                                 (1.1)

                          

 Исследования последних лет показали, что последовательность итераций x0, x1, x2, …, представляющая собой решение нелинейного разностного уравнения при произвольном начальном  x0, часто имеет хаотический характер. При этом отображение (1.1) может быть достаточно простым, но непременно нелинейным и обладающим некоторыми особенностями. Это явление непериодических флуктуаций в поведении несложной и неслучайной динамической системы было названо детерминированным хаосом.

Поиск теоретических критериев для определения того, при каких условиях и параметрах отображения f  динамическая система (1.1) войдет в хаотический режим, обычно велись лишь применительно к конкретным отображениям. Затем были найдены универсальные пути перехода к хаосу при изменении определенных параметров отображений. Здесь мы рассмотрим переход к хаотическому режиму посредством удвоения периода колебаний, так называемый сценарий Фейгенбаума.

Рассмотрим логистическое отображение

     ,xk+1=4rxk(1-xk),                                                                                                       (1.2)

показанное на рис. 1.1.

Оно было предложено еще в 1845 г. П. Ф. Ферхюльстом для описания динамики роста популяции в замкнутой среде. Относительная (нормированная) численность особей xk+1 в k+1-й год пропорциональна численности в предыдущий год, а также свободной части жизненного пространства, которая пропорциональна (1-xk). Параметр 4r зависит от рождаемости, условий жизни и т. п.

 

 

                       Рис.1.1. Логистическое отображение (1.2) при r= 0.25, 0.4, 0.7, 0.9 .

 

Казалось бы, можно ожидать, что благодаря механизму обратной связи интересующие нас величины  xk  будут стремиться к некоторым средним значениям. Однако, итерации x0, x1, x2, …  отображения (2) при изменении параметра r демонстрируют довольно сложное поведение, которое становится хаотическим при больших r (рис.1.2).

 Поэтому справедлив основной вывод современной нелинейной динамики, что простые динамические системы  не обязательно приводят к простому поведению.

Следует отметить, что хаотическое поведение не связано со своеобразием логистического отображения. Показано, что при некоторых ограничениях переход к хаосу, найденный для логистического отображения, встречается во всех разностных уравнениях первого порядка  xk+1=f(xk)  , в которых после соответствующего изменения масштаба  функция f(x)   имеет единственный максимум в интервале [0, 1]. Установлено также, что качественное поведение при переходе к хаосу описывается универсальными постоянными (константами Фейгенбаума m и d), величина которых зависит лишь от характера максимума. Такой переход наблюдается во многих одномерных отображениях.

 

 

       Рис.1.2. Решение разностного уравнения (1.2) при r=0,97 и xo= 0,2.

 

В качестве первого шага рассмотрим вопрос устойчивости неподвижных точек отображений f(x)    и композиций f(2)(x)=f(f(x)) , f(3)(x)=f(f(f(x))) и т.д. в зависимости от параметра r. Напомним, что неподвижной точкой отображения f(x)  называется  значение x*, удовлетворяющее условию f(x*)= x*. То есть, это остановка итерационного процесса.  Неподвижная точка локально устойчива, если небольшие отклонения x*+Dx не уводят итерации, а возвращают их к  x*. Можно сказать, что x* притягивает итерации, является аттрактором. Формально, условие устойчивости неподвижной точки

 

                                         < 1.                                                        (1.3)

 

Легко убедиться, что при   r< 0,25  отображение (1.2)   имеет лишь одну устойчивую неподвижную точку  x* = 0, которая при 0,25 < r < 0,75 становится неустойчивой, уступая

 

 

 место точке  x* = 1 – 1/4r , в которой теперь происходит пересечение с биссектрисой                  

координатного угла (см. рис.1.1). Итерации уверенно сходятся к значению x* с любых начальных x0 ¹ 0 , то есть,  x* есть устойчивая неподвижная точка.  Неустойчивой неподвижной точкой является теперь x = 0.

Используя биссектрису, можно показать итерации x0, x1, x2, …  в виде так называемой диаграммы Ламерея. На рис.1.3 показан процесс движения к неподвижной точке  x*  от x0 = 0,1 при r = 0,73.

При  r > 0,75  = r1  нарушается условие (1.3) и неподвижная точка x*также становится неустойчивой. Что изменяется в динамике итераций? Рассмотрим композицию f(2)(x)=f(f(x))=4r[4rx(1-x)][1-4rx(1-x)] логистического отображения для разных r (рис.1.4).

 

Рис.1.3. Диаграмма Ламерея, иллюстрирующая сходимость к x* = 1 - 1/4r=0,657534.

 

   

          r=0,73                                                                           r=0,8

Рис.1.4. Логистические отображения и их композиции при разных r

 

 Видно, что при  r=0,8 имеются точки пересечения композиции и биссектрисы, в которых производная композиции по модулю меньше единицы. Эти устойчивые неподвижные точки f(2)(x)   x1=0,51241 и  x2= 0,79997 являются положительными вещественными корнями уравнения f(2)(x) = x. Они  видны на рис.1.4 , можно убедиться в их устойчивости и по диаграмме Ламерея видно, что действительно возникают периодические колебания между ними.

Отметим четыре свойства  композиции:

f(2)  имеет три экстремума, в которых  обращается в ноль ее производная;  

Точка  x*, неподвижная для f , является неподвижной для f(2)  и всех высших композиций;

 Если неподвижная точка  x* становится неустойчивой по отношению к f(x) , она становится неустойчивой также и по отношению к   f(2)(x)    и ко всем высшим композициям (аналогично и для устойчивой x* );

 Остальные две неподвижные точки    f(2)(x)    x1  и  x2  в случае их устойчивости притягивают итерации к себе попеременно (см. рис.1.5).

Таким образом, период удвоился по сравнению со случаем единственной неподвижной точки и стал равен двум интервалам дискретизации.

 

 

Рис.1.5. Поведение системы (1.2) при r=0.8 . Период колебаний равен двум.

 

Легко увидеть, что f(x)  отображает эти две новые неподвижные для  f(2)(x)     точки друг в друга, т.е.

x1=f(x2)=f(f(x1))=f(2)(x1)      и         x2=f(x1)=f(f(x2))=f(2)(x2).

Понятна также периодичность их повторения, ведь

          xk+2=f(2)(xk).

При дальнейшем увеличении параметра  r кривые f(x) и  f(2)(x) постепенно деформируются так, что x1   и    x2 также теряют устойчивость, но в этот момент (r2 = 0,86237…) появляются четыре устойчивые неподвижные точки на кривой  f(4)(x). Мы получаем процесс  xk , k=0, 1, 2, …  , представляющий собой четыре последовательно посещаемые неподвижные точки  f(4)(xk). Произошло очередное удвоение периода                         xk+4=f(4)(xk) и он равен теперь четырем.

Анализируя устойчивость неподвижных точек высших композиций исследуемого отображения, можно найти последовательность значений параметра  r , при которых происходит удвоение периода, т.е. качественное изменение характера поведения системы.  Эти значения называются бифуркационными. В книге [1] они приведены:

r1=0,75, r2=0,86237…, r3=0,88602…, r4=0,89218…, r5=0,8924728…, r6=0,8924835…,   … и численными методами найдено       r¥=0,892486418…

При  r¥  период становится бесконечным, мы не дождемся повторяемости и, следовательно, не сможем предсказать развитие процесса – это и называется хаотическим поведением.

 

 

Рис.1.6. Бифуркационная диаграмма и показатель Ляпунова в функции параметра r логистического отображения.

 

Если изобразить зависимость значений устойчивых неподвижных точек от параметра, получим бифуркационную диаграмму (рис.1.6). Характер и особенности диаграммы обусловлен конкретным отображением, но существуют и некоторые универсальные закономерности (инварианты), присущие любым приводящим к хаосу отображениям. Разность между последовательными бифуркационными значениями параметра r убывает быстро, но с почти постоянным коэффициентом. Предел

                                                                         (1.4)

 

дает константу Фейгенбаума. Другая универсальная постоянная показывает коэффициент уменьшения масштабов (скейлинг) по оси ординат диаграммы  и равна

m =2,50290787509589284…. Эти константы проявляются при переходе к хаосу в динамике многих отображений.

Сделанное заключение представляет собой первый шаг к пониманию универсальности - оно связывает механизм бифуркационных изменений с общим законом функциональной композиции. Необходимо добавить, что не все отображения единичного интервала с квадратичным максимумом обнаруживают бесконечную последовательность удвоения периода, а только те, которые имеют отрицательную производную Шварца [3] 

 

.                                          (1.5)

                            

Это справедливо для отображения (1.2), так как для него f ’’’(x)=0.

 

 

Рис.1.7. Итерации отображения (1.2) при r=0.93 и при x0 и x0+dх0 , отличающихся на 1\%.

 

Бифуркационная диаграмма (рис.1.6) показывает, что за критическим значением  r¥=0,892486418… начинается сложная область. Увеличивая масштаб по оси абсцисс,

мы отчетливо видим там зоны хаоса со множеством точек, видим окна-просветы, где вновь возникают периодические режимы с удвоением и даже утроением периода, видим более темные полосы в хаотических зонах. И вся эта сложность содержится в простом уравнении (1.2).

Существование определенного отображения, как механизма, генерирующего хаотические колебания, как будто должно позволять нам однозначно предсказывать всю хаотическую последовательность итераций xk , k=0, 1, 2, …  , начинающуюся с известного x0. Однако практически это неосуществимо по причине сверхчувствительности хаотического режима к погрешности начальных условий.

          На рис.1.7 видно как быстро теряется точность прогноза при ошибке в задании х0 , равной 1\%. Причина в том, что отображение (1.2) является растягивающим – половина интервала изменения х отображается на весь интервал изменения f(x) и складывающим, так как вся область определения [0,1] должна совпадать с такой же областью значений. Именно эффект складывания делает отображение f(x) небиективным и, следовательно, необратимым и неоднозначным  – любой образ f(x) имеет два прообраза и очень быстро теряется “историческая” память о прошлом развитии. По мнению авторов книги [1], эти особенности f(x) обеспечивают хаотическое поведение итераций.

Если коэффициент растяжения, определяемый параметром r , более единицы, то процесс нарастания ошибки задания начальных условий dх0 в ходе итераций носит характер геометрической прогрессии, то есть, идет экспоненциальный рост ошибки прогноза в диапазоне ее возможных значений [0, 1]. Если  процесс нарастания ошибки аппроксимировать экспонентой

dхk=dх0exp(lk),                                                                                  (1.6)          

то можно найти меру расходимости итераций l, получаемую усреднением по многим итерациям. Ее называют показателем Ляпунова. Для определения обычно используют численные методы, хотя для одномерных отображений можно получить точную  предельную формулу показателя Ляпунова

 

l =     (1.7)

Используя показатель Ляпунова, можно классифицировать динамику динамической системы типа (1) как хаотическую при l> 0 и считать поведение системы регулярным при l£ 0 (см. рис.1.6) .

Существуют и используются также  другие показатели и критерии хаотичности: фрактальная размерность, корреляционная размерность, энтропия Колмогорова [ 2, 3, 5, 9,10].