Название: Моделирование и анализ нелинейной динамики - Лабораторный практикум (Хиценко В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1278


Лабораторнчая работа 2. исследование отображений 2-го порядка

 

Цель работы: Освоение методов моделирования и анализа двумерных дискретных динамических систем, допускающих хаотические режимы.

 

 Теоретическое описание

 

В предыдущей лабораторной работе мы исследовали логистическое и другие одномерные отображения, фазовым пространством которых является R1, т.е. числовая прямая или отрезок прямой. Теперь мы рассмотрим двумерные отображения точек плоскости R2. Последовательность точек, получаемая рекурсивным применением этих отображений, дает нам фазовый портрет дискретной динамической системы, соответствующий изучаемому отображению.  Если отображение линейно (матрица B),  то имеем

 

                                        .                                      (2.1)

 

 В общем (нелинейном) случае модель такой двумерной  динамической системы такова:      

                                               xk+1=jx(xk, yk)                                                (2.2)

                                                           yk+1=jy(xk,yk).

 

Если обозначить вектор xk =(xk , yk), то систему (2.2) можно записать как

 

                                       xk+1=j(xk).                                                (2.3)

 

Можно отобразить с помощью j   все точки некоторой области Wk ÌR2  в  Wk+1= j WkÌR2 . То есть, j  как бы переносит область Wk   фазовой плоскости, деформируя ее к виду  Wk+1.

Если площадь этой области Wk в уменьшается при увеличении k, то есть в ходе развития процесса, то отображение называется сжимающим или диссипативным. Формальным признаком диссипативности служитúdetAú <1, где A - матрица Якоби отображения (2.2)

A=.                                          (2.4)

             При этом фазовая площадь (площадь области W) уменьшается в údetAú  раз за одну итерацию. Системы, сохраняющие фазовую площадь (объем в R3, гиперобъем в общем случае), называются консервативными. Сжатие площадей означает стремление изображающей точки (xk,yk) при k®¥ к некоторой области в R2, имеющей нулевую площадь и называемой аттрактором. Это может быть точка, группа периодически посещаемых точек, линия и, как мы сегодня убедимся, кое-что «толще» чем линия, что-то вроде бесконечно многослойной линии. [EN1] Это так называемый странный аттрактор, обладающий дробной размерностью и фрактальной (канторовской) структурой. Собственные числа ri  матрицы А в зоне аттрактора связаны с показателями Ляпунова li=ln½ri½, характеризующими экспоненциальный разбег первоначально близких фазовых траекторий (см. лабораторную работу №1). При этом  в странном аттракторе обычно наблюдается сжатие в одном направлении и растяжение в другом при общем уменьшении площади W.

Неподвижная точка отображения (2.3) есть стационарное решение  этой системы разностных уравнений, то есть x* есть корень алгебраического уравнения x=j(x). Если матрица Якоби не зависит от времени k, то, решая характеристическое уравнение det[A(x*) - rI]=0, находим собственные числа матрицы A(x*). Если все они внутри единичного круга на комплексной плоскости, то решение x* (неподвижная точка) асимптотически устойчиво.

Периодические решения удовлетворяют условию x*k= x*k+n. Минимальное n из этого условия есть период. Периодические m-кратные неподвижные точки находятся из уравнения x=j(m)(x). В периодическое решение войдут x1* , x2*=j( x1*), x3*=j( x2*)=j(2)( x1*), … , xm*=j(m-1)( x1*).

Рассмотрим отображение Эно (M.Henon,1976)

xk+1=1-axk2+yk                                                                                                                                       (2.5)

                  yk+1=bxk

Видно, что (2.5) можно записать в виде одного разностного уравнения второго порядка:

xk+1=1-axk2+bxk-1                                                                                          (2.6).

Легко убедиться, что ½detA½=½b½, так что параметр b служит регулятором сжатия.

Отображение Эно можно разложить в  композицию трех отображений:

j=j3oj2oj1

и посмотреть их действие на некоторую фигуру на плоскости.

 

 

                             Рис.2.1        Исходный эллипс: W  

Рис. 2.2      Изгиб с сохранением площади

j1:    x’=x

                                                                 y’=1-ax2+y.  Преобразование W¢=j1 W

 

Рис. 2.3          Сжатие в направлении x c уменьшением площади

j2:     x’’=bx¢

          y’’=y’

Рис. 2.4          Поворот на 90°

j3:      x’’’= y’’

             y’’’= - x’’

 

В лабораторной работе мы сможем увидеть как трансформируется исходный прямоугольник последовательными шагами отображения Эно. Изменяя параметры, увидим их влияние на эффект растяжения и складывания исходной зоны. Рассмотрев динамику движения точки по фазовой плоскости, Вы увидите, что эти точки очень быстро втягиваются в  некоторую зону, имеющую вид изогнутых вложенных многослойных линий (рис.2.5). Причем чередование последовательных точек в этой зоне (аттракторе) совершенно хаотично. Такими же случайными и непредсказуемыми выглядят процессы изменения фазовых координат во времени xk и yk,, k=1,2,…

Мы сможем оценить влияние параметров a и b на динамику процессов и на форму аттрактора. Найдем значения a ( при b=0.3 ) , соответствующие периодическим решениям, и бифуркационные значения a , при которых происходят удвоения периода.

Например: при а=1.072, период Тп=12

                    при а<1.080744879, Тп=6.

К сожалению, возможности программы Excel не позволяют нам увидеть фрактальную структуру аттрактора Эно. Если бы мы смогли нанести на график примерно 10000 точек и последовательно увеличивать масштаб небольшого фрагмента фазовой плоскости, мы бы увидели самоподобную структуру линий  (рис.2.5). Это можно увидеть в программе Fractint или Winset.

 

 

 

          Рис.2.5 а)- Изображение аттрактора Эно, построенное по 104 точек. Несколько последовательных точек пронумерованы для иллюстрации блуждающего движения на аттракторе; б)- увеличенное изображение квадратика с предыдущего рисунка (видна многослойность линий). Последующие увеличения не отличаются от изображения б)

 

Если взять небольшую окружность  W0 в зоне аттрактора и подвергнуть все ее точки отображению Эно, то мы увидим  сильное растяжение в направлении касательной к аттрактору и сжатие в перпендикулярном направлении, при этом площадь существенно уменьшается. Если начальная окружность W0 имела радиус r то после k итераций большая ось эллипса равна rL1k ,а малая rL2k , где L1>1, а L2<1. Показано, что L1L2=½b½<1.

Фрактальная структура аттрактора Эно говорит о том, что он может иметь дробную размерность. Если покрывать аттрактор квадратиками, содержащими хотя бы одну точку, и уменьшать размер их стороны e, то количество квадратиков N(e), необходимое для покрытия, будет увеличиваться. Предел вида                                             

 df   =                                                                                 (2.7)

называется размерностью Хаусдорфа. Легко убедиться, что  df  будет равна 1 для непрерывной линии, 2 – для гладкой поверхности и 3 для регулярной объемной фигуры. Для странного аттрактора эта размерность дробна, в частности,  аттрактор Эно имеет df = 1,26. Это уже не линия, но еще не поверхность.

Можно, используя численные методы, найти два показателя  Ляпунова l1 и l2 данной системы Эно. Каждый из них показывает скорость расхождения двух первоначально близких траекторий вдоль конкретной оси фазовой плоскости. Если лишь один из них положителен, то это либо неустойчивость, либо детерминированный хаос. Размеры осей эллипса L1=еl1 и  L2=еl2 при бесконечно малом r и бесконечно большом k также дают нам показатели Ляпунова l1 и l2. Совокупность l1 и l2 называют спектром Ляпунова.

 Если z и c есть комплексные числа, то процесс итераций

                           zk+1= zk2+c  ,                                                                     (2.8)     

начинаясь с z0 , будет перемещаться по комплексной плоскости. Можно увидеть, что, выбирая z0 в некоторой области и запуская итерации, мы не получаем неограниченно больших значений zk и остаемся в пределах области. Стартуя из точки вне этой области, мы  неизбежно устремляемся к бесконечности. Граница этой области называется множеством Жюлиа. На рисунках в книгах, посвященных фракталам, обычно закрашивают черным цветом всю область. Конфигурация ее удивительно своеобразна и существенно зависит от константы c. На рис.2.6 видно, что при некоторых значениях c эта область связна, а при других  -  несвязна (архипелаг).

 

Рис.2.6. Области, ограниченные множеством Жюлиа при с=0.377-0.248i (слева) и c=-0.22564+0.77542i (справа).

 

Множество Жюлиа фрактально и с помощью программы Winset мы сможем увидеть последовательный процесс увеличения любого фрагмента.

Если теперь на комплексной плоскости мы выделим зону значений c, при которых область, ограниченная множеством Жюлиа, связна, то получим знаменитое множество Мандельброта. На рис.2.7 приведено это множество и показаны в окошках множества Жюлиа при конкретных значениях c, соответствующих центру окошка.

 

 

Рис.2.7. Множество Мандельброта на комплексной плоскости.

С помощью программ Fractint и Winset мы сможем увидеть эти множества и цветовую палитру, показывающую уровни скоростей убегания в бесконечность итераций отображения (2.8).

 

 Порядок выполнения работы

Изучить теоретические основы метода анализа и инструменты для моделирования (посмотрите описания рабочих листов программы Excel на стр.18).

Открыть Лист1 в файле lab_2.xls, запустить итерации xk , yk  и получить аттрактор отображения Эно. С помощью Лист2 и Лист3 изучите влияние параметров отображения на деформации прямоугольной фазовой области в ходе итераций Эно. С помощью листов «Эллипс», «Изгиб», «Сжатие», «Поворот» изучите влияние параметров на действие этих композиционных составляющих отображения Эно и на сжатие площадей.

Оцените влияние параметров a и b отображения Эно на поведение итераций xk , yk во времени и на конфигурацию аттрактора (изменять коэффициенты в пределах, указанных на Лист1).

Найти значение параметра a при b =0.3, соответствующее бифуркационным изменениям в поведении системы Эно (появление периодичности, удвоение периода и т.д. ). Начать со значения a=0.5 и попытаться определить бифуркационное значение a.

Сохранить для отчета наиболее характерные графики, полученные в ходе этого анализа.

Проследить перемещение фазовой точки по аттрактору (10-15 шагов).

Ознакомиться с другими двумерными отображениями, приведенными на листах lab_2.xls. и зафиксировать их для отчета. Посмотреть влияние параметров на динамику и аттрактор.

Получить у преподавателя систему для самостоятельного моделирования. Создать для нее на шаблоне  инд.задание рабочий лист по аналогии с Лист1. Повторить пункты 3-6 применительно к новому отображению (на рис. 2.8 показан пример такого иследования).

 

 

  Рис. 2.8. Пример листа Индивидуальное задание.

 

Совместно с преподавателем решить, какие из полученных результатов анализа следует перенести в отчет.

Посмотреть с помощью программы WinSet множество  Жюлиа и его фрагменты при различных значениях комплексного параметра с. Для выбора с использовать множество Мандельброта.

 

 Содержание отчета

 

Основные положения теории двумерных отображений.

Результаты анализа отображения Эно.

Выводы по результатам анализа индивидуального отображения.

 

 Контрольные вопросы

 

1.Сформулируйте условие сжимаемости отображения или диссипативности динамической системы.

2.Как можно найти неподвижную точку отображения и как проверить ее устойчивость?

3.Как аналитически найти  периодические неподвижные точки и проверить их устойчивость?

4.Поясните влияние параметров на уменьшение фазовой площади отображения Эно. Как сделать эту систему консервативной?

5.Оцените степень сжатия конкретного (заданного преподавателем) отображения.

6.С какой скоростью убывает площадь конкретного отображения в ходе итераций?

7.Как можно определить показатели Ляпунова дискретного отображения?

8.Как связаны дискретные отображения с непрерывными системами дифференциальных уравнений?

 

 

Описание рабочих листов программы EXCEL

 

          Рабочая книга состоит из нескольких рабочих листов, расположенных в соответствии с порядком выполнения лабораторной работы. Некоторые листы защищены от случайного повреждения рабочих ячеек и имеют специальные поля для ввода переменных. При необходимости на листе указаны рабочие формулы, по которым производились расчет и построение графиков. Если существуют ограничения на ввод коэффициентов, то на рабочем листе указываются границы их диапазона.

Лист1.В столбцах A и B идет расчет последовательности итераций отображения Эно. Коэффициенты для него находятся в ячейках Е1 и Е2. При вводе значений происходит автоматический пересчет ячеек и обновление графиков. Первый график показывает итерации X и Y. На другом графике обновляется аттрактор отображения Эно.

Лист2.Содержит промежуточные данные для построения последовательных шагов отображения. Никаких изменений в этом листе производить не следует.

Лист3.На листе расположены шесть графиков. Первый показывает исходную область в виде прямоугольника. Следующие графики демонстрируют последовательные трансформации этой области в ходе отображения Эно. В ячейках С18 и С19 расположены коэффициенты отображения, изменяя которые можно наблюдать эти изменения  исходной фазовой области.

Лист Инд.задание. Предназначен для самостоятельного ввода и анализа системы, выданной преподавателем. Формулы для X и Y вносятся в ячейки A2 и B2 соответственно. Затем необходимо выделить эти ячейки и «протянуть» мышкой вычисления итераций на диапазон не менее трехсот ячеек. Графики строятся автоматически и полностью соответствуют графикам на Листе1.

Листы «Эллипс», «Изгиб», «Сжатие», «Поворот» иллюстрируют последовательное  отображение Эно  фазовой области точек в виде эллипса.

«Эллипс». Строится исходная область отображения – эллипс. При необходимости, варьируя коэффициенты уравнения эллипса, можно изменять площадь фигуры. Над графиком эллипса показана рассчитанная площадь фигуры для введенных коэффициентов уравнения эллипса.

Листы «Изгиб», «Сжатие», «Поворот». Внешний вид листов аналогичен листу Эллипс. Работа с ними ведется аналогично.

Также в рабочей книге имеются листы «Mandelbrot», «Burger», «Ginger», «Hopf», «Popul», позволяющие изучить одноименные отображения.