Название: Моделирование и анализ нелинейной динамики - Лабораторный практикум (Хиценко В.Е.)

Жанр: Технические

Просмотров: 1265


                                     лабораторная работа 4 сечение и отображение пуанкаре

         

Цель работы – освоение сечения Пуанкаре, как одного из удобных инструментов анализа нелинейной динамики систем.

 

                                                  Теоретическое описание

 

Особенности хаотической и регулярной динамики систем могут быть изучены по их фазовым траекториям в пространстве состояний М. Однако, начиная с размерности n=3, визуальный анализ траекторий, аттракторов и всего фазового портрета, как векторного поля, затруднителен. Проекции аттрактора на координатные плоскости в М мало помогают. Эффективным инструментом оказывается сечение Пуанкаре.

          Известно, что дискретные динамические системы могут получаться из непрерывных путём фиксации значений в изолированные моменты времени. При этом интервалы между этими моментами не обязательно одинаковые. В теории динамических систем переход от непрерывных к дискретным системам осуществляется с помощью сечений Пуанкаре. При этом мы как бы оставляем в фазовом пространстве те точки траектории, в которых она пересекает некоторую поверхность. Таким образом, удаётся снизить размерность системы, т.к. поверхность в n-мерном пространстве имеет размерность n-1, упростить анализ динамики, т.к. системы разностных уравнений легче изучать, чем дифференциальных уравнений. Доказано, что при таком переходе сохраняются все основные свойства непрерывной системы. Поэтому анализ дискретных отображений является практичным при исследовании динамических систем. 

 Реализуя этот метод, мы как бы помещаем в М некоторую поверхность S (обычно плоскость) так, чтобы фазовые траектории пересекали ее под ненулевым углом. Множество точек пересечения  Рi поверхности в одном направлении и называется сечением Пуанкаре. Геометрические особенности сечения определяются  конфигурацией аттрактора и при удачном выборе секущих плоскостей удается "рассмотреть" всю его топологию. Мы как бы разрезаем его на слои.

 

 

 

 

                                         Рис.4.1. Пример сечения Пуанкаре плоскостью х3=h.

 

          Сечение и отображение Пуанкаре обладают теми же топологическими свойствами, что и породивший их поток. Например, если поток диссипативен и объёмы в фазовом пространстве сжимаются, то отображение сокращает площади на плоскости S. Аналогично, если у потока имеется аттрактор, то его структурные характеристики могут быть найдены в сечении Пуанкаре. Если аттрактор представляет собой предельный цикл, то в правильно подобранном сечении мы увидим одну периодически посещаемую точку или несколько, если эта замкнутая траектория (предельный цикл) очень извилистая. Перемещая секущую S, мы сможем изучить эту траекторию.

Квазипериодическое движение на торе, которое нелегко рассмотреть в решениях дифференциальных уравнений и в фазовом пространстве, проявится в сечении Пуанкаре  замкнутыми плотными цепочками точек. Странные аттракторы, соответствующие хаотическому режиму, дадут нам в сечении канторовское множество точек, то есть нигде не плотное множество с самоподобной фрактальной структурой. Подобное множество мы видели в работе №2 – это аттрактор Эно. Однако при сильной диссипации увидеть фрактальность сложно и  для подтверждения "странности" аттрактора нужно вычислять фрактальную или корреляционную размерность сечения.

Понятно, что при изучении динамической системы 4-го порядка сечение Пуанкаре даст нам трехмерное множество точек, визуализировать его мы едва ли сможем и анализ будет непрост, но все же возможен.

Мы как и раньше считаем, что фазовые траектории, стягивающиеся в аттрактор, производит диссипативная автономная динамическая система вида

 

                                                                                                                     (4.1)

 

Связь хронологически соседних точек сечения Пуанкаре, т.е. непрерывное отображением плоскости S на себя

              

                                      Pi+1=Ф(Pi) , i=1,2,…                                                            (4.2)

 

можно считать результатом дискретизации системы дифференциальных уравнений (4.1). Иначе говоря, изменения координат точки Pi на плоскости  S  с координатами

(x1i, x2i,…,xn-1,i) = xi определяются системой разностных уравнений

 

               x1,i+1=j1(x1i,x2i,…,xn-1,i)

               x2,i+1=j2(x1i,x2i,…,xn-1,i)

                 …                                                                                                               (4.3)

               xn-1,i+1=jn-1(x1i,x2i,…,xn-1,i)

 

Cистема (4.2) и ее скалярный вид (4.3) называются отображением Пуанкаре. Обратите внимание на то, что интервалы времени между появлениями точек Pi  в сечении не одинаковы. Иногда применяют особые сечения Пуанкаре, обеспечивающие постоянный интервал времени между появлением точек сечения (стробоскоп). При этом интервал обычно равен периоду какого-то внешнего воздействия в неавтономных системах. Можно считать, что все разностные аппроксимации непрерывных динамических систем являются некоторыми отображениями Пуанкаре.

Уравнение поверхности в фазовом пространстве как бы задает условия связи переменных, и мы фиксируем лишь те точки траекторий, которые удовлетворяют этим условиям. Особый интерес могут представлять условия экстремума какого-либо из состояний,  некоторые технологические условия,  уравнения баланса, имеющие конкретный физический смысл и т.п.

Например, условие экстремума состояния x2   в системе (3.3) таково

                                                                      x2  +20x3 –x1 x3  = 0.

Чтобы средствами программы ODE сформировать такую секущую поверхность, введем дополнительную переменную  z =  x1 x3  и сформируем дополнительное уравнение

 

                     

 

Решая совместно все четыре уравнения в режиме сечения Пуанкаре, получаем нужные нам точки экстремума (только максимумы или только минимумы в зависимости от начальных условий). Секущая Пуанкаре такова    x2 +20x3 – z  = 0. На рис. 4.2 представлен вид панели ODE для моделирования соответствующего сечения аттрактора системы (3.3).

 

Рис. 4.2. Панель управления программы ODE.

 

Кроме  визуального анализа сечений, который затруднен в случай нелинейных секущих поверхностей, программа ODE позволяет увидеть связь текущих координат точек сечения с предыдущими. В режиме “n/(n+k)” можно вывести на экран зависимость последующего экстремума от предыдущего, скажем,

.

Вид этой зависимости может нам позволить выявить детерминированность в хаосе флуктуаций x2(t). На рис. 4.3 показаны результаты такого анализа.

Метод сечений Пуанкаре упрощает исследование непрерывных потоков по трем причинам. Во-первых, мы переходим от потока в R3 к отображению на плоскости, понижая тем самым число координат на единицу. Во-вторых, время дискретизуется, и дифференциальные уравнения заменяются разностными уравнениями отображений Пуанкаре (4.3). Наконец, в-третьих, резко сокращается число данных, подлежащих обработке, так как почти всеми точками на траектории можно пренебречь.

 

 

 

Рис.4.3. Отображение Пуанкаре (вверху) экстремальных точек решения x2(t) (внизу) системы (3.3).

 

          

 

                                Порядок проведения лабораторной работы.

 

Включить программу ODE.

Используя режим сечения Пуанкаре, найти разные сечения для аттрактора в виде тора в трехмерном пространстве (файл TOR3.ode) (уравнение секущей плоскости задавать в форме Гессе).

Найти сечения и отображения Пуанкаре для аттракторов Ресслера и Лоренца, соответствующих экстремальным точкам первой координаты этих систем.

Провести ряд параллельных сечений аттрактора Кислова-Дмитриева, с целью изучения его топологии. Проверить влияние параметров системы на форму аттрактора. Попытаться вскрыть фрактальную структуру аттрактора путем увеличения небольшого фрагмента сечения Пуанкаре при большом количестве точек в решении системы уравнений.

Повторить пункт 4 для системы, заданной преподавателем.

 

Контрольные вопросы

 

Как, используя программу ОDE, построить сечение и отображение Пуанкаре?

Как построить сечение и отображение Пуанкаре для фиксации точек максимума и минимума одного из решений системы?

Как использовать программу ODE для увеличения нужного фрагмента сечения?

Как осуществлять нужный поворот осей для проектирования сечения на координатные плоскости?