Название: Инварианты теории упругости и их приложения - Учеб. пособие (Кузнецов В.В.)

Жанр: Гуманитарные

Просмотров: 1555


1.1. объемная деформация

 

Положим, что трехмерное тело отнесено к произвольным криволинейным координатам , . Метрика тела задается с помощью квадратичной формы , . Здесь – метрические коэффициенты, являющиеся ковариантными компонентами метрического тензора [1], – радиус-вектор точки. Индексы после запятой обозначают дифференцирование по криволинейным координатам. Квадрат элемента объема описывается выражением [1]

,

.                                (1.1.1)

Для дальнейшего удобно принять следующее определение величины , зависящее от коэффициентов трех произвольных квадратичных форм , , :

.                          (1.1.2)

Тогда  – дискриминант квадратичной формы . При деформации тела радиус-вектор  принимает значение , а соответствующие величины имеют следующие значения:

, , .

Метрические коэффициенты в деформированном состоянии представим в виде , где  – ковариантные компоненты тензора деформаций Грина. Составляя отношение , можно записать выражение, содержащее первые, вторые и третьи степени . В терминах величин  (1.1.2) получаем формулы

,                  (1.1.3)

,                     (1.1.4)

,                     (1.1.5)

,                                     (1.1.6)

.                           (1.1.7)

Если в качестве криволинейных координат  взять декартовы координаты , то выражения (1.1.4) – (1.1.6) принимают вид

,

,           (1.1.8)

.

Согласно определению в теории упругости [1] , , являются первым, вторым и третьим инвариантами тензора деформаций. В системе координат  величины  являются физическими мерами удлинений и сдвигов. Так, удлинение элемента  равно . В случае произвольной системы криволинейных координат величины  (1.1.7) не имеют определенного физического смысла. Важнейшим свойством инвариантов (1.1.4) – (1.1.6) является сохранение их численных значений в данной точке тела независимо от выбора криволинейных координат. Другими словами, инварианты служат характеристиками физической деформации в точке. Так, в теории упругости при аффинной деформации отношение элементарных объемов , построенных на векторах , не зависит от формы и размеров параллелепипеда и является характеристикой физической деформации в точке. Согласно (1.1.3)

.                  (1.1.9)

Известно следующее приближенное выражение:

,                                 (1.1.10)

которое получается из (1.1.9) при малых деформациях.

 

1.2. Связь главных значений и осей тензора

деформации с его инвариантами

 

Направленный отрезок в теле до деформации определяется выражением . Здесь и далее производится суммирование по повторяющимся индексам. Выбирая различные соотношения между , можно получать отрезки различной ориентации. По некоторым направлениям приращение квадрата длины отрезка  при деформации будет экстремальным. Ставится задача определения этих направлений при условии, что квадрат длины первоначального отрезка  фиксирован и равен, например, . Это задача о стационарном значении следующей функции (знаки дифференциалов для простоты опущены как несущественные):

 .                        (1.2.1)

Здесь  – множитель Лагранжа;  – варьируемые параметры. Условие стационарности  имеет вид

,                        (1.2.2)

.                                 (1.2.3)

Поскольку тривиальное решение системы (1.2.2) исключается равенством (1.2.3), для существования решения необходимо равенство . Раскрывая определитель, получаем характеристическое уравнение

.                     (1.2.4)

Корни уравнения (1.2.4) есть главные значения тензора деформаций. Каждому главному значению  отвечает свой набор  (собственный вектор) и, следовательно, главное направление . Совокупность главных направлений определяет главные оси тензора.