Название: Динамические характеристики линейных систем - (Неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1642


2.7. передаточная функция

Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобнее записывать в символической форме с использованием так называемого оператора дифференцирования

,

что позволяет преобразовывать дифференциальные уравнения как алгебраические и ввести новую динамическую характеристику – передаточную функцию. Этот способ был предложен английским ученым Хевисайдом в 1895 г., позднее он был строго обоснован аппаратом интегральных преобразований Лапласа и Карсона [13].

Рассмотрим этот переход для многоканальных систем общего вида

Запишем уравнение состояния в операторной форме:

что позволяет определить вектор состояния

(2.22)

и выходные переменные системы

(2.23)

Матрица взаимосвязи между выходными переменными и управляющими воздействиями в выражении (2.23) при нулевых начальных условиях называется матричной передаточной функцией и обозначается

(2.24)

и имеет размерность . Она представляет собой матрицу со следующими компонентами:

(2.25)

где – скалярные передаточные функции, которые представляют собой отношение выходной величины к входной в символической форме при нулевых начальных условиях .

Собственными передаточными функциями i-го канала называются компоненты передаточной матрицы , которые находятся на главной диагонали. Составляющие, расположенные выше или ниже главной диагонали, называются передаточными функциями перекрестных связей между каналами.

Как известно, обратная матрица  может быть найдена по выражению

(2.26)

где  – присоединенная матрица. Как следует из (2.26), все скалярные передаточные функции в (2.25) содержат одинаковый знаменатель

.

Он называется характеристическим полиномом и имеет n-ый порядок.

Если теперь характеристический полином приравнять нулю, то получим характеристическое уравнение системы,

(2.27)

Уравнение (2.27) имеет n корней, которые называются полюсами системы.

Пример 2.6

Определить передаточную матрицу для объекта

где .

 

Воспользуемся выражением для передаточной матрицы (2.24) и найдем предварительно обратную матрицу (2.26). Здесь

Присоединенная матрица имеет вид

а .

В результате получим следующую обратную матрицу

и передаточную матрицу объекта

Как видим, все скалярные передаточные функции из этой матрицы имеют одинаковый знаменатель, который представляет собой  характеристический полином объекта.

 

Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем вида (2.5)

(2.28)

С использованием оператора дифференцирования p запишем уравнение (2.30) в символической форме и найдем передаточную функцию как отношение выходной величины к входной:

, (2.29)

где  – характеристический полином. Его корни,  называются полюсами, а корни полинома числителя передаточной функции, , называются нулями системы.

Передаточные функции динамических систем принято записывать в следующей стандартной форме:

, (2.30)

где  – коэффициент усиления;  .

Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также определить с помощью изображений Лапласа или Карсона–Хевисайда. Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части дифференциального уравнения и найти соотношения между входными и выходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту же самую передаточную матрицу (2.24) или функцию (2.29).

Все динамические характеристики объекта взаимосвязаны между собой: получив одну из них, можно определить все остальные. Мы рассмотрели переход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям с помощью оператора дифференцирования  p. Используя этот оператор, несложно перейти от передаточной функции к символической форме записи дифференциального уравнения, а затем к стандартному описанию объекта в форме (2.3) или (2.5).

Обсудим теперь взаимосвязь между переходными характеристиками и передаточной функцией. С этой целью запишем выражение для выходной переменной объекта через импульсную переходную функцию в соответствии с (2.8),

Подвергнем его преобразованию Лапласа [2, 9, 12],

и получим соотношение , из которого определим  в виде:

(2.31)

Таким образом, передаточная функция представляет собой преобразование по Лапласу импульсной переходной функции.

Пример 2.7

Определить передаточную функцию нули и полюса для объекта, модель которого задана уравнением

.

Запишем исходное уравнение объекта в операторной форме с помощью оператора дифференцирования p

.

Определим теперь передаточную функцию

Характеристическое уравнение объекта имеет вид

Передаточная функция содержит два полюса (, ) и один нуль,

Пример 2.8

Определить передаточную функцию двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 2.2).

 

Дифференциальное уравнение двигателя получено в примере 2.4 и имеет вид

Будем полагать, что возмущающее воздействие отсутствует, т.е. . Запишем это уравнение в символической форме с помощью оператора дифференцирования p

или, рассматривая его как алгебраическое,

.

Определим теперь передаточную функцию двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

.

Как видим, она не содержит нулей и имеет два полюса, которые, в зависимости от численных значений параметров  и , могут быть вещественными или комплексно-сопряженными.

2.8. Модальные характеристики

Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы (2.1) или, другими словами, отражают свойства автономной системы типа (2.10)

. (2.32)

Будем искать ее решение в виде экспоненты

(2.33)

где  – скалярная экспонента,  – вектор начальных условий.

Подставляя решение (2.33) в исходное уравнение (2.32), после преобразований получим

(2.34)

Система уравнений (2.34) будет иметь ненулевое решение относительно , если

(2.35)

Уравнение (2.35) есть характеристическое уравнение системы и имеет n-корней , которые называются собственными значениями матрицы A. При подстановке собственных значений в (2.35) получим

где  – собственные векторы, .

Совокупность собственных значений и собственных векторов представляет собой модальные характеристики системы.

Для (2.32) могут существовать лишь следующие экспоненциальные решения

(2.36)

которые называют модами. Полное решение системы (2.32) представляет собой линейную комбинацию мод:

(2.37)

Для получения характеристического уравнения системы можно использовать выражение (2.27), т.е. приравнять нулю общий знаменатель передаточной матрицы (передаточной функции).

При исследовании свойств системы ее собственные значения (полюса) удобно изображать в виде точек на комплексной плоскости (рис. 2.6). Такое графическое представление корней характеристического уравнения называют корневым портретом системы. С его помощью в ряде случаев можно, практически без вычислений, оценить качественные свойства процессов, протекающих в линейных системах.

Рис. 2.6. Иллюстрация корневого

портрета системы

Пример 2.9

Изобразить корневой портрет объекта, поведение которого описывают следующие уравнения

Определим матрицу объекта  и запишем характеристическое уравнение

Собственные значения матрицы A следующие: . Они изображены на комплексной плоскости корней в виде точек  (рис. 2.7).

 

Рис. 2.7. Корневой портрет объекта