Название: Динамические характеристики линейных систем - (Неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1642


2.2. дифференциальные уравнения

Наиболее часто в качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в различной форме.

Линейные многоканальные объекты обычно описывают системой дифференциальных уравнений первого порядка, представленной в векторно-матричном виде:

. (2.1)

Здесь  – вектор состояния, n – порядок объекта;  – вектор управляющих воздействий, ; A – квадратная матрица коэффициентов; B – прямоугольная матрица коэффициентов. Уравнения (2.1) называются дифференциальными уравнениями состояния.

Выходные переменные объекта изменяются в соответствии с уравнением выхода

(2.2)

где  – вектор выхода; C – прямоугольная матрица коэффициентов. Уравнения (2.1) и (2.2) описывают линейный стационарный объект.

Для описания одноканального объекта обычно используется скалярное дифференциальное уравнение:

(2.3)

которое также может быть приведено к описанию типа (2.1) и (2.2) после соответствующего выбора линейно-независимых переменных состояния. Их число всегда равно порядку объекта (n), а  и .

Наиболее простое каноническое описание получается в случае, когда в качестве переменных состояния выбирается выходная переменная y и ее производные до  включительно

При этом вместо (2.3) имеем систему уравнений в виде нормальной формы Коши,

(2.4)

которая соответствует векторно-матричным уравнениям (2.1) и (2.2). Здесь матрицы A, B и C имеют вид:

причем их размерности следующие: , ,

Следует отметить, что переход к описанию (2.1) - (2.2) не является однозначным: для одного объекта можно выбрать множество переменных состояния; важно, чтобы они были линейно-независимыми. При этом каждой совокупности переменных состояния будут соответствовать свои матрицы объекта A, B и C.

Пример 2.1

Записать уравнения состояния одноканального объекта, модель которого имеет вид

.

Если в качестве переменных состояния выбрать выходную величину и ее производную, , то получим канонические уравнения состояния и матрицы объекта типа (2.4):

Выбирая переменные состояния следующим образом: получим новые уравнения состояния и матрицы объекта:

В общем случае одноканальный объект может описываться дифференциальным уравнением вида:

. (2.5)

Выбрав соответствующие переменные состояния, от описания (2.5) также можно перейти к векторно-матричным уравнениям типа (2.1) - (2.2). Рассмотрим этот переход на примере.

Пример 2.2

Записать уравнения состояния объекта с математической моделью вида

Разрешим это уравнение относительно разности

,

выберем в качестве переменных состояния  и получим следующие уравнения состояния и матрицы объекта:

Таким образом, в качестве основной  динамической характеристики линейных объектов управления используются дифференциальные уравнения, которые могут быть представлены в форме (2.1) – (2.2), (2.3), (2.4) или (2.5).