Название: Динамические характеристики линейных систем - (Неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1642


2.3. составление математической модели

В теории автоматического управления рассматриваются не физические системы управления, а их математические модели, поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы эта модель достаточно адекватно отражала свойства реального устройства. Процедуру получения математической модели объекта можно разбить на следующие этапы:

Составление гносеологической (мысленной) модели объекта. Исходя из технического задания и изучения режимов работы объекта, у инженера возникает приближенная мысленная модель, которая в дальнейшем уточняется и приобретает вид математической модели.

Определение независимых переменных, которые характеризуют объект, и уточнение их размерностей. При этом число управляющих воздействий не может быть меньше числа выходных переменных . Размерность переменных состояния не может быть меньше размерности выходных переменных . Размерность возмущающих воздействий M может быть произвольной и никак не связана с размерностью y, x, u.

Запись физических законов, в силу которых развиваются процессы в объекте.

Приведение уравнений объекта к стандартному, с точки зрения теории автоматического управления, виду.

Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, так как при ее составлении всегда делают какие-либо допущения и упрощения. Поэтому для одной и той же системы, в зависимости от целей управления, она может быть разной.

При составлении математической модели приходится искать компромиссный вариант между двумя противоречивыми требованиями: с одной стороны, модель должна наиболее полно отражать свойства реальной системы; с другой стороны – она должна быть простой, чтобы не затруднять исследований.

Пример 2.3

Определить математическую модель электрической цепи (рис. 2.1), записать для нее уравнения состояния.

 

 

 

Рис. 2.1. Эквивалентная схема объекта

Физическими законами, в силу которых развиваются процессы в объекте, являются законы Кирхгофа

Перейдем к стандартному, с точки зрения теории управления, описанию объекта. При этом выходной величиной будем считать напряжение на выходе цепи, то есть ; управляющим воздействием – напряжение на ее входе (), а переменной состояния – ток, протекающий по цепи (). С учетом введенных обозначений запишем исходные уравнения объекта в следующем виде:

а затем перейдем к принятому описанию в переменных состояния

 где

Пример 2.4

Рассмотрим в качестве еще одного примера составление математической модели двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 2.2), который часто используется в системах автоматического управления.

 

 

Рис. 2.2. Схема двигателя

постоянного тока

Здесь  – напряжение, подаваемое на якорь двигателя, которое будем считать входным воздействием;  – ток в цепи якоря представляет собой внутреннюю переменную объекта;  – сопротивление и индуктивность цепи якоря;  – противоЭДС, т.е. напряжение, возникающее в обмотке якоря в результате его вращения в магнитном поле;  – скорость вращения двигателя, которую будем считать выходной переменной.

Запишем основные уравнения, характеризующие процессы в двигателе при отсутствии момента нагрузки на его валу. Уравнение электрического равновесия якорной цепи имеет вид

Уравнение механического равновесия моментов на валу двигателя следующее:

где  – приведенный момент инерции;  – вращающий момент;  – момент сопротивления на валу двигателя, который является возмущающим воздействием.

С достаточной степенью точности во многих случаях можно считать, что    где  В результате уравнения двигателя принимают вид

Запишем уравнения двигателя в переменных состояния, введя следующие обозначения:  - управление;   - переменные состояния;  - возмущение.

где     

Часто модель двигателя представляют в виде одного дифференциального уравнения

Здесь  – электромеханическая постоянная времени двигателя;

 – электромагнитная постоянная времени якорной цепи;

 – коэффициент усиления; .

Пример 2.5

Рассмотрим перевернутый маятник, ось которого монтируется на тележке (каретке), перемещающейся в горизонтальном направлении [9]. В совокупности такое устройство представляет собой объект управления, называемый «каретка-маятник». Его схематичная модель изображена на рис. 2.3.

 

 

Рис. 2.3. Объект управления «каретка-маятник»

Здесь  – угол отклонения маятника (выходная переменная);  – прикладываемая управляющим двигателем сила (входная переменная);  – перемещение каретки;  – масса каретки; L - расстояние между осью и центром тяжести маятника;  – масса маятника; J – момент инерции относительно центра тяжести; g – ускорение силы тяжести;  и  – горизонтальная и вертикальная силы реакции у оси маятника.

Упрощенная модель объекта «каретка-маятник» может быть представлена системой дифференциальных уравнений [9]

где  – эффективная длина маятника.

Перейдем к описанию модели объекта в переменных состояния вида (2.1). В качестве компонент вектора состояния выберем следующие величины

а выходной переменной объекта является угол отклонения маятника, т.е.  В результате уравнения состояния принимают вид

Определим теперь матрицы объекта