Название: Основы прикладной газодинамики - Учебное пособие (А.П. Шашкин)

Жанр: Технические

Просмотров: 1189


5.3  элементарная теория ударной трубы

Среди задач нестационарной газовой динамики важную роль играют так называемые произвольные разрывы . Это такие разрывы, на которых не соблюдены законы сохранения по разные стороны разрыва. Например, в канале по разные стороны перегородки расположены разные газы с различными параметрами. Задача состоит в определении нестационарного процесса после начала взаимодействия потоков (перегородка убрана).

В качестве примера рассмотрим элементарную теорию ударной трубы. Ударная труба представляет собой канал, в одной части которого содержит газ под высоким давлением, в другой части, за мембраной, давление остается малым. После разрушения мембраны процесс развивается по сценарию (рис.5.2), в котором волна разрежения образуется характеристиками второго семейства

Рис. 5.2

В этом случае параметры в области 1 и 4 известны. Исследуемая модель помещается в зону 3. Искомые параметры в трубе: f=(v,p,,a), где v - скорость; p - давление; - плотность; a - скорость звука во всех областях. Для решения задачи, обозначая через C - скорость скачка и через M - число Маха скачка, имеем соотношения:

1)  из условия сохранения энтропии вдоль линии тока при пересечении ею волны разрежения;

2)  из сохранения инварианта Римана вдоль характеристики первого семейства в области "1" и "3";

3)  по определению скорости звука;

4,5)  условия на контактном разрыве;

6) ;

7)   условие на скачке;

8)   условие на скачке;

9.  условие на скачке, которое следует из формулы .

Таким образом, имеется девять уравнений для определения девяти неизвестных: f3, где  и M. Для решения системы принимаем переменную M за известный параметр и исключаем в системе все неизвестные функции. В результате, для определения величины M получим нелинейное алгебраическое уравнение, корень которого может быть найден или графически или численно методом последовательных приближений. Остальные параметры вычисляются прямой подстановкой.

5.4 Метод характеристик

Присутствие характеристик в потоке и инвариантов Римана на них позволяет легко получить приближенное решение многих задач нестационарной газодинамики с помощью метода характеристик. Поясним метод на примере элементарной ячейки (рис.5.3).

Рис.5.3

Пусть в точках 1 и 2 известны координаты и все параметры потока.

Через каждую из них можно провести характеристики трех семейств: характеристики двух семейств согласно формулам (5.7). В качестве третьего семейства служит линия тока, вдоль которой сохраняется энтропия

  и .                                           (5.6)

Вдоль характеристики первого семейства, проходящей через точку 1, справедливы соотношения

,                                                  (5.7)

где rопределяется по данным в точке 1. Вдоль характеристики второго семейства, проходящей через точку 2 справедливо

.                                                (5.8)

Тогда в точке 3, лежащей на пересечении этих характеристик, получим

.                                      (5.9).

Пусть на начальной линии 1 - 2 есть точка 4, которая подобрана так, что линия тока, проходящая через точку 4 с известными параметрами, проходит также через точку 3, т.е.

 ,                                                                   (5.10)

Из этого соотношения, используя (5.9), получим

                                  (5.11)

Для определения координат точек 3 и 4 используем приближенное конечно - разностное представление дифференциальных уравнений в (5.6), (5.7), (5.8)

           ;                               (5.12)

          .                                   (5.13)

Система двух линейных уравнений (5.12) однозначно определяет координаты . Затем  из системы (5.13) находим . Параметры потока, и, следовательно,  можно получить интерполированием по линии 1 - 2.

Изложенная процедура решения газодинамической задачи для ячейки лежит в основе решения этой задачи во всем потоке.

Задача Коши. Пусть на плоскости x, t вдоль некоторой кривой, не совпадающей ни с одной характеристикой, известны начальные значения потока (рис.5.4)

Рис.5.4                                  

Из каждой точки  выпускаем характеристики до пересечения в точках . Координаты точек и параметры потока в них находим как показано выше. Затем процесс повторяется для точек  и т.д. Так можем получить решение в треугольной области . Если линия  лежит на одной из характеристик, изложенную процедуру применить не удастся. Задача может быть  решена, если начальные данные заданы и на характеристике другого семейства (рис.5.5).

Задача Гурса. Пусть на линии OA, которая является характеристикой одного из семейств, заданы точки  и параметры потока в них. Пусть на линии OO, которая является характеристикой другого семейства, также заданы точки  и параметры потока в них. Выпуская из точки  характеристику второго семейства до пересечения с характеристикой первого семейства, выпущенной из точки O, получим характеристический треугольник . Параметры потока и координаты точки  найдем уже известным способом. Далее процесс повторяется для треугольника  и т.д. Точно так же строим ряд точек и т.д. (рис. 5.5).

Рис.5.5

Граничные условия. Для решения газодинамических задач в некоторой геометрической области необходимо учитывать не только начальные данные , но и условия на ее границах. Очевидно, что если точка 3 в элементарной ячейке лежит на границе, исключающей влияние точек 1 либо 2, то решение задачи в смысле (5.6)(5.13) невозможно. В этом случае необходимо задать другие (граничные) условия, компенсирующие выпавшие характеристические соотношения. При этом число граничных условий должно быть равно числу характеристик, выходящих из граничной точки.

Пример. Расчет вблизи движущейся стенки (поршня)

Процесс вычисления проследим на примере элементарной ячейки (рис.5.6).

 

Рис.5.6

Пусть уравнение движения стенки , откуда

 .                                                            (5.14)

Пусть на стенку приходит характеристика только второго семейства из точки 2 и поток на линии 4 - 2 известен. Точка 1 (рис.5.3) и соответствующая ей характеристика отсутствуют. Однако имеется одно дополнительное условие (5.14). Кривая  - есть уравнение линии тока. Таким образом, в решении задачи в соответствии с (5.7)(5.13)  известны. Следовательно, из (5.9) известно , а из (5.11) определим плотность  и давление .

 

Литература

1. Зауэр Р. Нестационарные задачи газодинамики. -М: Мир, 1969.

2. Черный Г.Г. Газовая динамика. -М: Наука, 1988.

3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. -М-: Наука, 1987.

4. Станюкович К.П. Нестационарные движения сплошной среды. -М: Гостехиздат, 1955.