Название: Основы математической статистики - Методические указания (К.П. Кадомская)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1283


3.2.1. порядковый критерий вилькоксона [1]

 

          Поскольку оценки числовых характеристик двух выборок Х* и Y* отличаются между собой не настолько, чтобы сразу же было можно утверждать, что генеральные совокупности, из которых получены выборки, разнородны, возникает гипотеза о принадлежности двух выборок единой генеральной совокупности Z. Применим для проверки правдоподобия этой гипотезы три разных критерия: порядковый критерий Вилькоксона, оперирующий всеми значениями выборок Х* и  Y*, критерий равенства математических ожиданий (критерий z), оперирующий с оценками математических ожиданий, дисперсий выборок и их объемами, а также  критерий равенства дисперсий (критерий F), оперирующий с дисперсиями и объемами выборок Х* и  Y*.

          Для использования критерия Вилькоксона необходимо прежде всего составить единый вариационный ряд для двух выборок  Х* и  Y*, т.е.  перемешанный ряд по признаку возрастания элементов выборок. Критерием согласия выдвинутой гипотезы о принадлежности двух выборок единой генеральной совокупности служат числа инверсий  Иx-y и  Иy-x, характеризующие степень перемешанности единого вариационного ряда. Количественная оценка степени перемешанности вариационных рядов дается числом инверсий, которое определяется следующим образом: если какому-либо значению xk

в объединенной выборке предшествует значение yi, то  эта пара дает одну инверсию иксов с игреками.

          Покажем на примере, как определяются числа инверсий. Пусть, например, имеется единый вариационный ряд

                                                x1 y1 x2 x3 y2 x4 y3 y4 x5.

Этот ряд дает следующие числа инверсий:

                             ИY-X = 1 + 3 + 4 + 4 = 12, ИX-Y = 1 + 1 + 2 + 4 = 8,

причем .

          Вилькоксон показал, что числа инверсий Иx-y и Иy-x подчинены нормальному закону с параметрами:

                                      ,

                             .

          Поскольку порядковый критерий Вилькоксона является двусторонним критерием (критическая область значений критерия содержит две подобласти И < Икр1  и  И > Икр2), уровень значимости, с которым гипотеза об объединяемости выборок в единую генеральную совокупность не противоречит располагаемому статистическому материалу, определяется как

 

              q =1 - Р(И(Y-X) набл < И < И(X-Y)набл) =

 

 

=

 

                           (3.4)

Так как , а , то выражение (3.4) запишется в виде

.                                 (3.5)

(В выражениях (3.4) и (3.5) предполагается, что , а   .)