Название: Исследование значимости факторов, влияющих на мощность холостого хода станка - ( И. Л. Кескевич)

Жанр: Технические

Просмотров: 898


5. методические указания

Эксперимент – это система операций и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте исследования. Составной частью эксперимента является опыт – воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях при возможности регистрации и количественной оценки состояния исследуемого объекта. При этом механизм изучаемого процесса может быть известен лишь частично или совсем неизвестен.

Подпись:  

Рис. 5.1. Модель объекта иссле¬дования (модель черного ящика)

В таких случаях объект исследования можно условно представить в виде »черного ящика», заменяющего систему внутренних связей, не доступных на данном этапе исследователю. Известны лишь переменные величины, воздействующие на объект, и величины, характеризующие его состояние (рис. 5.1). Первые называют входными величинами или факторами, а вторые – выходными или откликом.

Факторы можно разделить на три группы:

группа постоянных или случайно изменяющихся в ходе исследования факторов W, значения которых известны;

2) группа управляемых факторов U, значения которых целенаправленно изменяются в ходе эксперимента (две первые группы обычно объединяют в одну группу X контролируемых параметров);

3) группа неконтролируемых параметров Z, значения которых остаются неизвестными в ходе исследования.

Зависимость величины отклика Y от контролируемых факторов X называется функцией отклика. Геометрическое представление функции отклика называется поверхностью отклика. Чтобы такое представление стало возможным, вводится понятие факторного пространства, у которого координатные оси соответствуют отдельным факторам.

Любая точка факторного пространства характеризуется набором значений факторов, при котором производится измерение отклика. Фиксированное значение фактора называют уровнем фактора. При количестве факторов, большем трех, геометрическое представление факторного пространства становится невозможным. Поэтому чаще всего множество уровней факторов, при которых производится измерение отклика, задается матрицей условий эксперимента. Эта матрица для k факторов и N измерений имеет вид

          .

Значения отклика, полученные при данных измерениях, также представляются матрицей, которая имеет один столбец и называется матрицей наблюдений:

          .

По характеру организации эксперимент может быть пассивным или активным.

При реализации пассивного эксперимента исследователь наблюдает за объектом, не вмешиваясь в процесс его функционирования. В данном случае уровни факторов изменяются случайным или закономерным образом. Измеряя их значения и значения отклика, исследователь получает зависимость между факторами и откликом. Примером пассивного эксперимента является исследование точности обработки деталей на настроенном станке. Факторами в данном случае будут геометрические погрешности заготовок, их твердость, износ инструмента, жесткость станка, откликом – погрешность обработанных деталей.

При реализации активного эксперимента экспериментатор сам задает уровень факторов. При этом к контролируемым факторам предъявляются следующие требования:

· управляемость фактора в течение необходимого для проведения опыта отрезка времени;

· достаточная точность измерения уровня поддерживаемого фактора;

· независимость фактора – возможность задать любой уровень данного фактора вне зависимости от уровней других факторов.

При проведении активного многофакторного эксперимента непременно выполняют его предварительное планирование.

План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализаций опытов. План эксперимента обычно записывается в виде матрицы плана – таблицы, строки которой отвечают отдельным опытам, а столбцы факторам. Элементами матрицы плана обычно являются нормированные уровни факторов.

План, содержащий все возможные комбинации факторов на определенном числе уровней, называется полным факторным планом. Если план содержит только часть комбинаций полного факторного плана, то его называют дробным факторным планом или дробной репликой.

Рандомизация – статистическая процедура, выполняемая для того, чтобы сделать случайными систематически действующие факторы (в том числе и неизвестные факторы), которые трудно поддаются учету и контролю, с тем, чтобы можно было рассматривать их как случайные и, следовательно, учитывать статистически.

Рандомизацию в данной работе проводят с использованием таблицы случайных чисел следующим образом. В таблице случайных чисел (см. приложение 1) выбирают любой столбец, из которого в порядке следования берут числа от 1 до p = 9 и записывают их в той же последовательности в один из q столбцов плана. Затем повторяют эту процедуру для всех остальных столбцов плана.

Дисперсионный анализ. Начиная исследование плохо изученной системы, следует в первую очередь выявить из общего списка факторов, предположительно влияющих на исследуемую систему, наиболее существенные, а остальные рассматривать как некий шумовой фон. Для выявления значимости влияния отдельных факторов или их совместного воздействия на средние значения отклика используют дисперсионный анализ. Наиболее эффективен многофакторный дисперсионный анализ, когда оценивается влияние нескольких факторов при одновременном изменении их значений. Его проведение возможно, если результаты измерения являются независимыми, случайными величинами, подчиняющимися нормальному закону распределения с одинаковыми дисперсиями. В зависимости от числа факторов, включенных в анализ, различают однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ.

Двухфакторный дисперсионный анализ. В процессе эксперимента первый фактор X1 поддерживается на p уровнях, а второй X2 – на q уровнях (q может быть равно p). При исследовании возможно выполнение mij дублирующих опытов. Результаты опытов заносятся в матрицу наблюдений (табл. 5.1).

 

Т а б л и ц а  5.1

Матрица наблюдений

X1

X2 

X21

X22

¼

X2j

¼

X2q

X11

Y11

Y12

¼

Y1j

¼

Y1q

X12

Y21

Y22

¼

Y2j

¼

Y2q

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

X1i

Yi1

Yi2

¼

Yij

¼

Yiq

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

X1p

Yp1

Yp2

¼

Ypj

¼

Ypq

 

Результаты любого наблюдения можно представить моделью

                            (5.1)

где m – общее среднее значение результатов измерений;

giv – отклонение, вызванное влиянием первого фактора на i-м уровне в v-м дублирующем опыте;

gjv – отклонение, вызванное влиянием второго фактора на j-м уровне;

nij – отклонение за счет взаимодействия факторов;

eijv – отклонение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов.

На первом этапе, при наличии m дублирующих опытов, для каждой ячейки вычисляются:

                         (5.2)

                     (5.3)

где – дисперсия воспроизводимости.

Затем проверяется однородность полученного ряда дисперсий. После подтверждения гипотезы ее однородности приступают к вычислению средних по строкам и столбцам матрицы наблюдений (табл. 5.2).

 

Т а б л и ц а  5.2

Таблица первичной обработки результатов наблюдений

X1

X2

X21

X22

¼

X2j

¼

X2q

Средние

по строкам

X11

y11

y12

¼

y1j

¼

y1q

y1

X12

y21

y22

¼

y2j

¼

y2q

y2

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

X1i

yi1

yi2

¼

yij

¼

yiq

yi

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

¼

X1p

yp1

yp2

¼

ypj

¼

ypq

yp

Средние

по столбцам

y1

y2

¼

yj

¼

Yq

m

                     (5.4)

                     (5.5)

                  (5.6)

Средняя дисперсия воспроизводимости

          .              (5.7)

Дисперсия изменчивости отклика под влиянием фактора X1

          .             (5.8)

Дисперсия изменчивости под влиянием фактора X2

          .         (5.9)

Дисперсия за счет взаимодействия факторов X1 и X2

          .         (5.10)

Формулами (5.8)–(5.10) можно пользоваться, если количество дублирующих опытов постоянно и равно m.

Значимость влияния факторов X1 и X2, а также их взаимодействия проверяется при помощи критерия Фишера. Наблюдаемые значения критерия определяют по формулам:

                        (5.11)

                       (5.12)

          ,         (5.13)

а критические значения критерия по таблице, согласно заданному значению доверительной вероятности  и числу степеней свободы дисперсий. Степень свободы есть величина, равная числу наблюдений минус число оцениваемых параметров т. е

          = p – 1;  = q – 1;  = (p – 1)(q – 1);   = pq(m – 1).

Наблюдаемые значения критерия Фишера сравниваются с табличными (см. приложение 2). Если эмпирические значения Fн превосходят табличные критические значения Fтабл. для заданного уровня значимости , то принимается гипотеза о существенности влияния на выход данного фактора. В противном случае гипотеза отвергается.

Доверительный интервал. Наиболее информативный способ оценивания значений исследуемых откликов Y = f(X) состоит не только в определении их точечных статистических параметров  и , но и в построении интервала, в котором с заданной степенью достоверности окажется оцениваемый отклик.

Интервальной оценкой отклика Y называется интервал, границы которого  и  являются функциями значений x1, x2 ..., xN и который с заданной вероятностью p накрывает оцениваемый отклик Y:

          .

Интервал  называется доверительным, а его границы  и  – соответственно нижним и верхним доверительными пределами, вероятность  – доверительной вероятностью, используемой при построении доверительного интервала. Тогда любая интервальная оценка может быть охарактеризована совокупностью двух величин: шириной доверительного интервала , являющегося мерой точности оценивания отклика Y, и доверительной вероятностью , характеризующей степень достоверности (надежности) результатов. Практически чаще всего используется значение  = 0,95, несколько реже  = 0,90 и  = 0,99 и совсем редко  = 0,8 и  = 0,999.

Для построения доверительных интервалов для среднего значения  мощности привода по строкам, когда неизвестна, используется формула:

          ,

где – средние значения мощности по строкам;

– среднее квадратическое отклонение по строке;

Численные значения t-распределения Стьюдента  приведены в приложении 3.