Название: Математическое моделирование движения машин и механизмов - (А. А. Рыков)

Жанр: Технические

Просмотров: 1305


2. пример выполнения задания

 

Дано:  кг;  кг;  кг;  Нм;  Нм;  Нм .

 м,  м,  = 0.2 м,  м, м , рад./ c.

Составить дифференциальное уравнение движения тела 3, найти зависимости ускорения, скорости, перемещения тела 3, а также мощности двигателя на валу и приведенной силы от времени, считая конечным моментом остановку объекта. Представить эти зависимости графически. Указать время движения до остановки, соответствующее перемещение и максимальное ускорение тела 3, а также наибольшую мощность двигателя. Определить максимальные окружное усилие в точке касания колес 1 и 2 и натяжение нити, удерживающей тело 3 (рис. 2,а).

Решение. В данной системе колеса 1 и 2 механизма вращаются вокруг неподвижных осей, а поднимаемое тело 3 совершает поступательное движение.

Напишем дифференциальные уравнения движения каждого из трех тел, для чего отделим их друг от друга, разрезав нить, удерживающую тело 3, и разъединив колеса 1 и 2 , заменим связи их реакциями (рис. 2,б).

 

а                                              б

 

Рис. 2

 

К колесу 1 механизма приложены сила тяжести , движущий момент , составляющие реакции подшипника , , окружное усилие  и нормальная реакция  колеса 2.

К колесу 2 механизма приложены сила тяжести , момент сопротивления , включающий момент сил трения  и тормозной момент , составляющие реакции подшипника , , натяжение нити , которая удерживает тело 3, окружное усилие  и нормальная реакция  колеса 1.

К телу 3 приложены сила тяжести  и натяжение нити . Очевидно: ,   

Составим дифференциальное уравнение вращательного движения коле-

са 1 вокруг оси х1:  Здесь  – главный момент внешних сил, приложенных к колесу 1 относительно оси вращения x1: .

Момент М приводит в движение колесо 1 и поэтому принят положительным, а момент, создаваемый окружным усилием , препятствует вращению колеса 1 и, следовательно, отрицателен. Дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 1 принимает вид

.                                        (4)

Составим дифференциальное уравнение вращательного движения коле-

са 2 вокруг оси х2: . Здесь  – главный момент внешних сил, приложенных к колесу 2, относительно оси вращения х2: .

Момент, создаваемый окружным усилием , приводит в движение колесо 2 и поэтому принят положительным, а момент сил трения  и тормозной момент , составляющие в сумме момент , а также момент силы натяжения нити  препятствуют движению колеса 2 и, следовательно, отрицательны. Дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 2 принимает вид:

.                                                (5)

Составим дифференциальное уравнение движения тела 3 вдоль оси : . Здесь  – проекция главного вектора внешних сил, приложенных к телу 3, на ось z , направленную в сторону движения груза, т.е. вверх.

Дифференциальное уравнение поступательного движения тела 3

.                                              (6)

Исключая неизвестные силы  и  в уравнениях (4), (5), (6), получаем

 .                       (7)

Условиями связи рассматриваемых трех тел являются равенства перемещений, скоростей и касательных ускорений в точках сопряжения. Поэтому

 , .                                     (8)

Подставим (8) в (7) и получим дифференциальное уравнение относительно переменной :

.                    (9)

Разделим (9) на :

.        (10)

Сравнивая (10) с основным законом динамики, можно сделать вывод, что в правой части уравнения (10) – приведенная сила , а в квадратных

скобках – приведенная масса .

Вычислим моменты инерции колес 1 и 2 относительно осей х1, х2 и приведенную массу:

.

Учитывая исходные данные, находим

, ,

Приведенная сила в общем случае с учетом выражений моментов (1), (2), (3) и кинематических соотношений для скоростей тел системы может быть представлена в виде

  ,                                               (11)

где                                              ,                                                      (12)

 ,                                      (13)

 .                  (14)

Приравнивая нулю приведенную силу, определим максимально

возможную скорость движения тела 3 на участке разгона:  Решение уравнения (10) зависит от знака выражения  Если , то связь скорости и времени движения тела 3 имеет вид:

 .                (15)

Если  -

 ,                         (16)

Перемещение груза в обоих случаях определится по формуле

.                        (17)

Исследуемый цикл движения объекта содержит три этапа: запуск, собственно движение с рабочей скоростью, торможение. На первом этапе включен двигатель, развивающий на валу движущий момент , приложенный

к колесу 1. Учитывается и сопротивление движению в виде приведенного

к колесу 2 момента сил трения . В этом случае

 , .

С учетом заданных величин ,   ,  

Для данного примера максимально возможная скорость  м/с. Примем допустимую скорость  равной  м/с. Увеличивая скорость от начального значения =0.6 м/с до конечного ее значения, на этом этапе  м/c , с шагом 0.3 м/с по (15) и (17) вычисляем соответствующие время t (0 < t < t1) и перемещение  тела 3 (0 <  < ) .

На втором этапе движения объекта двигатель отключен, , учитывается сопротивление движению в виде приведенного к колесу 2 момента сил трения . В этом случае

   

С учетом данных ,  ,  ,  На этом этапе, уменьшая скорость  от  с тем же шагом до заданной величины (40 \%) , по (16) и (17) вычисляем время движения  и   () и перемещение тела 3  и , . .

На третьем этапе, при торможении объекта, включается тормоз, развивающий тормозной момент  и приложенный к колесу 2 . Двигатель отключен, но сопротивление движению от сил трения, т.е. момент трения , учитывается. Тогда

  .

С учетом данных , , ,  На этом этапе, снижая скорость от  с тем же шагом до нуля, по (16) и (17) вычисляем время движения  и перемещение тела 3  .

Мощность приведенной силы находим согласно полученным данным

по формуле , а мощность двигателя на валу .

Вычисляем также на каждом этапе движения системы силу натяжения

и окружное усилие по формулам и , [см. (4), (6), (8)].

Полученные значения величин перемещений, времени и ускорения движения тела 3, а также мощности двигателя на валу и приведенной силы представлены графически на рис. 3.

 

Рис. 3

 

Укажем время цикла и максимальные значения найденных величин:

 с,