Название: теория автоматического управления (В.В. Наумов,В.Н. Аносов)

Жанр: Технические

Просмотров: 1007


Задание

 

Для линейной САУ, заданной структурной схемой и численными значениями параметров (для своего варианта):

найти передаточные функции системы в разомкнутом и замкнутом состоянии по управляющему и возмущающему воздействиям, передаточные функции ошибок по управляющему и возмущающему воздействиям, характеристическое уравнение САУ в замкнутом состоянии;

определить устойчивость двумя методами (критериями);

определить значение критического коэффициента передачи САУ.

 

Методические указания к выполнению контрольной работы

 

1. В контрольной работе система автоматического управления задана структурной схемой. В этом случае находить передаточные функции удобнее всего, применяя правила преобразования структурных схем.

Прежде чем приступать к выполнению первого пункта задания, уясните, что понимается под передаточной функцией элемента или системы, а также изучите правила преобразования структурных схем.

При определении передаточных функций САУ в разомкнутом состоянии следует размыкать главную обратную связь (гос), см. рис. 1.1.

Передаточные функции по управляющему воздействию находят в предположении, что возмущающее воздействие F(p) равно нулю, а по возмущающему – что равно нулю управляющее воздействие G(p).

Часто при преобразовании соединений с обратными связями пользуются передаточной функцией контура в разомкнутом состоянии. Она не зависит от вида входного воздействия и места размыкания контура и определяется как общая передаточная функция всех звеньев, входящих в рассматриваемый

контур.

При нахождении передаточных функций ошибок надо не забывать, что ошибкой САУ независимо от вида входного воздействия (управляющего или возмущающего) является всегда величина E(р).

Характеристическое уравнение проще всего находить, приравнивая знаменатель передаточной функции нулю. При этом следует понимать, что в характеристическом уравнении  p  будет обозначать корень этого уравнения, а не оператор Лапласа, как это было при записи передаточных функций.

2. При определении устойчивости предпочтение должно отдаваться методам (критериям) либо наиболее рациональным, либо применимым к заданной САУ. В качестве первого метода рекомендуется применять алгебраические критерии устойчивости Рауса или Гурвица. Если эти критерии неприменимы, как, например, к системам, имеющим звенья запаздывания (e-tp), то можно использовать критерий Михайлова. В качестве второго метода применяются частотные критерии устойчивости Михайлова или Найквиста. При использовании критерия Найквиста целесообразно определять устойчивость по асимптотической логарифмической амплитудно-частотной и логарифмической фазочастотной характеристикам. Это упростит расчёты и графические построения, а также подготовит Вас к выполнению второй контрольной работы.

При построении логарифмических частотных характеристик необходимо иметь в виду, что по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе. Однако делать это можно двумя способами.

Первый способ

По оси абсцисс откладывается десятичный логарифм частоты  (lG w)  в декадах (дек). При считывании частоты нужно не забывать, что  w =10lG w  . Ось абсцисс для этого способа изображена  на рис. 1.2.

 

 

Рис. 1.2

 

Второй способ

По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе в радианах за секунду (рад/с). Нанесение логарифмического масштаба в этом случае можно облегчить, если воспользоваться для разметки каждой декады формулой   lк= lдек lgк,  рис. 1.3  и табл. 1.1,

где l дек – отрезок оси абсцисс, соответствующий декаде;

lк   – величина отрезка между точками  "1"  и  "к";

к    – число от 1 до 10.

 

Таблица  1.1

 

lк

 
к

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

lgк

0.301

0.477

0.602

0.602

0.699

0.778

0.845

0.903

0.954

1.00

          Рис. 1.3

 

Ось абсцисс для этого способа приведена на рис. 1.4.

 

w [рад/с]

 

 

Рис. 1.4

 

Также следует иметь в виду, что для построения логарифмической амплитудно-частотной характеристики по оси ординат необходимо откладывать значения  L(w) = 20 lgA(w)  в децибелах, а для фазочастотной – значения  j(w) в обычном масштабе в градусах или радианах.

С методикой построения логарифмических частотных характеристик можно познакомиться в работах [1,3].

3. Критическое значение коэффициента передачи (ккр) определяется из условия нахождения системы на границе устойчивости по одному из критериев устойчивости.

Для критерия Гурвица условие границы устойчивости можно найти, приравняв нулю n-1 диагональный минор определителя Гурвица; для критерия Рауса – приравняв нулю n-1 строку таблицы Рауса (при отсутствии нулевых корней характеристического уравнения системы). Разрешив полученные равенства относительно коэффициента передачи, можно получить ккр.

По критерию Михайлова САУ находится на границе устойчивости, если годограф Михайлова проходит через начало координат и в характеристическом уравнении системы отсутствуют корни с положительной вещественной частью.

При построенном годографе Михайлова  М(jw) величину ккр можно найти по длине отрезка  lкр  (рис. 1.5). На рис. 1.5  n =3 степень характеристического уравнения САУ.  

Численное значение критического коэффициента передачи определяется по выражению:          ккр = lкр – 1.

По критерию Найквиста система находится на границе устойчивости, если при  L(w) = 0 фазочастотная характеристика  j(w) = -p.

 

Рис. 1.5

 

При построенных логарифмических частотных характеристиках заданной САУ критический коэффициент передачи можно найти графически. Рисунок 1.6 иллюстрирует процедуру определения  ккр   для систем устойчивых в разомкнутом состоянии.

 

а – система неустойчивая                                  б – система устойчивая

 

Рис.1.6

 

На рис. 1.6 пунктиром показаны смещённые логарифмические амплитудно-частотные характеристики, соответствующие границе устойчивости

системы.