Название: теория автоматического управления (В.В. Наумов,В.Н. Аносов)

Жанр: Технические

Просмотров: 1007


Задание

 

Для линейной САУ, исследуемой в контрольной работе № 1:

          1) синтезировать корректирующие устройства, обеспечивающие требуемые показатели качества системы в установившемся и переходном режимах. Требования к качеству приведены в приложения 1, табл. П.1.3;

проверить результаты синтеза:

– определить запасы устойчивости скорректированной САУ и соответствие их требуемым значениям;

построить переходный процесс при единичном входном воздействии и определить показатели качества и соответствие их допустимым значениям.   

 

Методические указания к выполнению контрольной работы

 

1. Синтез корректирующих устройств (КУ) для проектируемой системы делается в том случае, если она неустойчивая или не обеспечивает требования в установившемся или переходном режиме.

В установившемся режиме основным показателем, характеризующим систему, является значение ошибки. Если САУ задана передаточной функцией, как в настоящей контрольной работе, то ошибку системы в установившемся режиме несложно найти, воспользовавшись теоремой Лапласа о конечном значении оригинала:

e(¥) = lim [p·Е (p)] = lim [p·We(p) Хвх(p)]                     (2.1)

                                      p ® 0                   p ® 0         

 

где    Е(p)   – изображение ошибки (см. рис. 1.1),

We(p) – передаточная функция ошибки,

Хвх(p) – изображение входного воздействия, по которому определяется ошибка.

В теории управления в зависимости от вида входного воздействия (постоянного, изменяющегося с постоянной скоростью или с постоянным ускорением) различают ошибки статическую, скоростную и ошибку по ускорению для управляющего и для возмущающего воздействий. При заданном входном воздействии ошибка САУ зависит от коэффициента передачи системы и от порядка астатизма (количества интегрирующих звеньев, включённых в контур управления). Поэтому коррекция системы в установившемся режиме сводится к выбору требуемого коэффициента передачи (ктр) или выбору количества интегрирующих звеньев. При этом нужно не забывать, что ошибка при возмущающем воздействии зависит ещё и от места включения интегрирующих звеньев.

В переходном режиме система должна быть устойчивой и иметь показатели качества не ниже допустимых значений. Чаще всего показатели качества задаются параметрами переходного процесса: временем регулирования (Трег.), максимальным перерегулированием (smax \%) и количеством колебаний (ккол.). На рис. 2.1 показано, как определяются параметры переходного процесса Хвых(t).

 

Рис. 2.1

 

Коррекция системы управления в переходном режиме заключается в целенаправленном выборе и включении в контур управления так называемых корректирующих устройств.

Если качество САУ задано параметрами переходного режима, то синтез корректирующих устройств следует производить по асимптотическим амплитудно-частотным характеристикам. В этом случае синтез КУ можно представить состоящим из следующих этапов:

выбора типа корректирующего устройства (последовательного или параллельного);

выбора места включения корректирующего устройства;

построения асимптотической логарифмической амплитудно-частотной характеристики нескорректированной САУ – Lнс(w);

построения желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики – Lж(w);

нахождения логарифмической амплитудно-частотной характеристики корректирующего устройства – Lкуw);

выбора типового корректирующего устройства (электрической схемы, передаточной функции и соотношения параметров).

Для линейных САУ, заданных в этой контрольной работе, предпочтительным типом КУ является, как правило, параллельные корректирующие устройства, так как они обладают рядом преимуществ перед последовательными [1,3]. Последовательные корректирующие устройства целесообразно применять в том случае, если их можно реализовать на  операционном усилителе, который использовался для увеличения коэффициента передачи системы.

Выбор места включения КУ обусловлен получением наиболее простого, с меньшим числом элементов корректирующего устройства. Рекомендуется включать КУ как можно ближе к входу системы и охватывать звенья, имеющие большие постоянные времени и коэффициенты передачи.

Построение Lнс(w) значительно упрощается, если в контрольной работе

№ 1 была построена асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характеристика исходной системы. В этом случае для построения Lнс(w) достаточно уточнить вид Lисх(w), если при синтезе САУ в установившемся режиме увеличивался коэффициент передачи или включалось в контур системы интегрирующее звено.

Наиболее важным этапом синтеза является построение Lж(w). Желаемую характеристику можно разбить на три характерные частотные области: низкочастотную,среднечастотную и высокочастотную.

Низкочастотная область Lж(w) должна совпадать с Lнс(w). Это необходимо для сохранения коэффициента передачи, выбранного исходя из требований к качеству САУ в установившемся режиме.

Среднечастотная область оказывает определяющее влияние на устойчивость и качество системы в переходном режиме. Для получения у синтезируемой системы требуемого качества среднечастотная область желаемой характеристики строится под наклоном -20 децибел на декаду так, чтобы она проходила через частоту среза (wс). Частота среза определяется по заданным параметрам переходного процесса: Tрег.доп и smax.доп  с использованием графика, приведённого на рис. 2.2,а. Ординаты начала и конца среднечастотной области ориентировочно принимаются равными соответственно  +DLтр и -DLтр. Здесь DLтр – требуемый запас устойчивости синтезируемой системы по модулю, который определяется по графику, приведённому на рис. 2.2,б.

 

 

При определении границ среднечастотной области нужно помнить, что увеличение ширины области улучшает, а уменьшение ухудшает качество синтезируемой САУ. Минимальная ширина среднечастотной области для обеспечения необходимой коррекции исходной системы должна быть не менее одной декады.

Высокочастотная область Lж(w) мало влияет на основные показатели переходного процесса, поэтому её следует строить таким образом, чтобы получить наиболее простое (типовое) корректирующее устройство.

Сопряжение низкочастотной и среднечастотной области Lж(w) производится отрезком прямой линии под наклоном -40 или -60 дб/дек. При параллельной коррекции можно в некоторых случаях сопряжение осуществлять прямой под наклоном -20 дб/дек.

логарифмическую амплитудно-частотную характеристику корректирующего звена находят графически с использованием следующих

соотношений.

– для последовательного КУ

Lку(w) = Lж(w) – Lнс(w);                                            (2.2)

– для параллельного КУ: 

Lку(w) » Lно(W) – Lж(w,                                             (2.3)

где  Lно(W) – логарифмическая амплитудно-частотная характеристика звеньев, не охваченных параллельным корректирующим устройством.

Таким образом, для нахождения  Lку(w) параллельного КУ необходимо дополнительно построить  Lно(W).

Отметим, что соотношение (2.2) неточное. Им можно пользоваться только в среднечастотной и высокочастотной областях. Поэтому в низкочастотной области характеристику параллельного корректирующего устройства следует проводить под наклоном граничащего с ней отрезка Lку(w). Также отметим, что характеристику Lку(w) параллельного корректирующего устройства можно находить, пользуясь другими соотношениями [1,3].

Выбор типового корректирующего устройства производится по виду характеристики Lку(w) с использованием таблиц типовых корректирующих устройств, которые приводятся в учебной или справочной литературе [1,3,5]. В некоторых случаях одним корректирующим устройством не удаётся реализовать найденную Lку(w). Тогда допускается применение двух или трёх последовательно соединённых типовых звеньев [3].

2. Проверка результатов синтеза заключается в определении запасов устойчивости и параметров переходного процесса скорректированной САУ и сопоставлении их с требуемыми и допустимыми значениями.

Для определения запасов устойчивости по модулю и фазе необходимо построить фазочастотную характеристику скорректированной системы. Аналитическое выражение для  jcк(w) можно найти по передаточной функции скорректированной системы, которую, в свою очередь, можно записать по виду Lж(w). Если САУ в своём составе имеет звено запаздывания, то jcк(w) следует уточнять:

jcк.ут(w) = jcк(w) + jзз(w),                             (2.4)

где  jзз(w) – фазочастотная характеристика звена запаздывания.

Запасы устойчивости по модулю и фазе определяются по взаимному расположению Lск(w) и jcк(w). Если полученные значения запасов устойчивости окажутся меньше требуемых, то синтез следует проделать заново. При этом необходимо изменить соответствующим образом Lж(w).

Построить переходный процесс скорректированной системы можно следующими методами:

классическим, решив дифференциальное уравнение скорректированной САУ;

операторным, применив для решения дифференциального уравнения преобразование Лапласа;

 методом трапецеидальных вещественных частотных характеристик;

методом математического моделирования.

Первые два метода при ручном счёте применяются, как правило, для систем не выше 3-4-го порядка, так как связаны с трудностями нахождения корней характеристического уравнения и переходом от изображений к оригиналам.

Трудности при решении дифференциальных уравнений можно легко преодолеть, если воспользоваться современными компьютерными программами, предназначенными специально для облегчения и ускорения практически любых математических расчетов. Наиболее универсальной, простой в использовании и достаточно лёгкой в освоении является программа MathCAD. Студентам, имеющим доступ к персональным ЭВМ, рекомендуется находить переходный процесс, а также производить сложные математические расчёты и построение графиков в программе MathCAD или какой-либо подобной программе. В этом случае студент должен приводить в контрольной работе подробную распечатку всех  расчётов.

Студенты, не имеющие доступа к ЭВМ, могут рассчитать переходный процесс методом трапецеидальных вещественных частотных характеристик. В этом методе переходный процесс строится по вещественной частотной характеристике скорректированной САУ в замкнутом состоянии. Вещественную частотную характеристику P(w) можно построить по аналитическому выражению, найденному из частотной передаточной функции скорректированной САУ в замкнутом состоянии или по номограмме для расчёта вещественных частотных характеристик [1,3,5].

Ответственной операцией при расчёте переходного процесса является разбивка характеристики P(w) на трапеции, которую следует делать, ориентируясь на следующие правила:

1) начальная ордината  P(w)  при  w = 0 должна оставаться неизменной, так как она определяет выходную величину в установившемся режиме;

2) сумма ординат составляющих трапеций должна быть равна ординатам P(w) при всех частотах с точностью представления её отрезками прямых линий;

3) ординатами, составляющими менее 0.1 от  P(0), в области высоких частот можно пренебрегать.

После того как произведена разбивка на трапеции, необходимо определить параметры каждой трапеции (P0 – начальную ординату, wп – полосу пропускания частот и c – коэффициент наклона). Для систематизации дальнейших расчётов целесообразно составить следующую таблицу:

 

Трапеция № 1

Р01=    ,  wп1=    ,  c1=     .

Трапеция № 2

Р02=    ,  wп2=    ,  c2=    .

 

И т. д.

tтаб

h1

t1

x1

tтаб

h2

t2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И  т. д.

 

 

 

 

Количество основных столбцов таблицы равно количеству трапеций, на которые разбивается характеристика P(w). Первые два дополнительные столбца (tтаб и  hi) заполняются данными из таблицы  h – функций [1,3,4] для коэффициентов наклона, соответствующих каждой трапеции. Пересчёт данных от  h(tтаб) к значениям xi(ti) для действительных трапеций осуществляется на основании теоремы подобия по следующим соотношениям:

                             xi = hi P0i           и          ti = tтаб / wп i                          (2.5)

где    xi – ордината переходной функции от действительной трапеции;

ti – время действительное;

i – номер трапеции.

Пересчитанными данными  заполняются два других дополнительных столбца таблицы (ti и xi) для каждой действительной трапеции.

Переходный процесс системы находится как алгебраическая сумма переходных процессов от всех трапеций, на которые была разбита характеристика  P(w). Делать это целесообразно графически.

Метод математического моделирования имеет значительные преимущества по сравнению с рассмотренными выше методами. Математическое моделирование предполагает использование цифровых вычислительных машин, оснащённых программами структурного моделирования динамических объектов  или аналоговых вычислительных машин, предназначенных для этой цели. Этот метод позволяет не только найти переходный процесс в скорректированной САУ, но и произвести всесторонний анализ динамических свойств системы при вариации значений её параметров.

С методом математического моделирования студенты подробно познакомятся в лабораторном практикуме при изучении теории линейных систем автоматического управления. 

После того как будет построен переходный процесс, необходимо найти его параметры, как это сделано на рис. 2.1, и сравнить с допустимыми значениями. Если скорректированная САУ будет удовлетворять требованиям качества, то синтез на этом считается оконченным; если нет, то коррекцию динамических свойств заданной системы нужно повторить, начиная с пункта “Выбор места включения корректирующего устройства”.