Название: задачи физических олимпиад (О.В. Кибис,Ю.В. Соколов,С.В. Спутай)

Жанр: Технические

Просмотров: 1269


Ответы и решения

 

1. Диск оторвется от трубки, когда сила давления воды на его нижнее основание  уравновесится весом диска  и силой давления воды на верхнюю часть диска , так что . В явном виде это соотношение описывается выражением

,

откуда получаем искомую величину .

 

2. За одну секунду насос поднимет  кг воды на высоту . Расходуемая на этот подъем мощность . Кроме того, в процессе подъема воды насос сообщает ей скорость , и расходуемая на ускорение воды мощность , где m = ρ·Q –

масса воды, поднимаемая насосом в единицу времени. Таким образом, искомая полная мощность

.

 

3. Уравнение Менделеева-Клапейрона для заключенного внутри трубки воздуха имеет вид , где  – площадь поперечного сечения трубки. Принимая во внимание, что конечное давление , получим интересующую нас начальную температуру воздуха

.

 

4. Потенциал большой капли , а для маленькой капли потенциал имеет вид . Учитывая, что , получим . Так как объем ртути при слиянии капель сохраняется, то , так что . Отсюда окончательно получаем для искомого потенциала выражение .

 

5. Из закона электромагнитной индукции и закона Ома получаем , где  – полное сопротивление витка, а  – поток магнитной индукции  через виток. В общем случае протекающий по витку заряд при произвольной деформации витка определяется очевидным выражением , где  – изменение потока магнитной индукции через площадь витка при его деформации. По условиям задачи восьмерка состоит из большой петли и малой петли. Поэтому свернуть петлю в такую восьмерку можно двумя разными способами: а) перевернув малую петлю, б) перевернув большую петлю. Поскольку при этих двух способах получения восьмерки величина  будет различна, то задача имеет два различных ответа, которые мы получим последовательно. Для случая а) имеем

, где  – радиус большой петли, а для случая б) аналогичным образом получим .

 

6. Пусть  – масса каждой капли,  – начальная скорость первой капли, а  — скорость обеих капель после соударения. Из законов сохранения энергии и импульса имеем  и , где ушедшая на нагрев и испарение капель энергия , а . Отсюда получаем  и искомая минимальная скорость  м/с.

 

7. Плотность атмосферного воздуха , где  – средняя масса молекулы воздуха,  – атмосферное давление,  – температура атмосферного воздуха. Подъемная сила воздушного шара  связана с плотностью атмосферного воздуха выражением , где  – объем воздушного шара. Поскольку оболочка воздушного шара абсолютно эластична, давление воздуха в воздушном шаре равно атмосферному, так что из уравнения Менделеева–Клапейрона имеем , где  – число молей воздуха в воздушном шаре, а  – температура воздуха в воздушном шаре. Отсюда получаем не зависящее от высоты выражение для подъемной силы воздушного шара, что и требовалось доказать.

 

8. Первое начало термодинамики для двух молей одноатомного идеального газа имеет вид , где давление и объем связаны между собой уравнением Менделеева–Клапейрона . Принимая во внимание, что теплоемкость , можно записать первое начало термодинамики в виде . Интегрируя получившееся дифференциальное уравнение, получим

.

Таким образом, объем газа изменится в  раз.

9. Из закона сохранения горизонтальной компоненты импульса системы получим  где  и  — значения горизонтальной компоненты скорости шарика и чашки соответственно. Поскольку это соотношение имеет место для любого момента времени, отсюда получаем , где  и  — значения горизонтального перемещения шарика и чашки в лабораторной системе отсчета. Из рисунка видно, что , так что искомое перемещение чашки .

 

10. При изобарическом нагреве кислорода под поршнем цилиндра часть теплоты , подводимой к газу, идет на совершение работы по перемещению поршня , где изменение внутренней энергии , где  и  – соответственно полная масса и молярная масса кислорода,  – молярная теплоемкость кислорода при постоянном объеме, а  – изменение температуры кислорода. Поскольку работа при изобарическом процессе имеет вид , для искомой теплоты получаем выражение .

 

11. Поскольку внутри конденсатора на электрон не действуют силы, имеющие горизонтальную компоненту, горизонтальная компонента скорости электрона останется неизменной и в любой момент времени будет равна , так что время пролета конденсатора электроном . За это время вертикальная компонента скорости электрона станет равна . Соответственно, отношение вертикальной компоненты скорости электрона на выходе из конденсатора к его горизонтальной компоненте даст тангенс угла, фигурирующего в условиях задачи: . Отсюда искомая напряженность электрического поля .

 

12. Возникающая в контуре ЭДС индукции по абсолютной величине равна , где изменение магнитного потока через площадь замкнутого контура за время  есть . Согласно закону Ома сила тока в цепи . Согласно правилу Ленца ток в цепи направлен против часовой стрелки.

13. Из закона сохранения импульса имеем , где

v – скорость шара с застрявшей в нем пулей. Применяя далее закон сохранения энергии, получим соотношение , где  – максимальное сжатие пружины, равное искомой амплитуде колебаний шара. Период же колебаний находится по стандартной формуле для периода колебаний груза массой на пружине жесткостью . Окончательно получаем, , .

 

14. Пусть коэффициент трения равен . Тогда на отцепившуюся часть состава действует сила трения  и, соответственно, ускорение этой части состава . Следовательно, скорость отцепившихся вагонов меняется по закону , а время, по прошествии которого их скорость уменьшится в два раза, есть . На остальную часть состава действуют две силы – сила тяги  и сила трения . До разрыва состава эти силы уравновешивали друг друга, так что . После разрыва ускорение оставшейся части состава  определяется уравнением второго закона Ньютона , откуда . Соответственно, искомая скорость этой части состава  в момент времени  есть .

15. Благодаря малым размерам шарика можно пренебречь той частью работы, которую совершают сила тяжести и сила Архимеда на этапе, когда шарик частично погружен в воду. В связи с этим из закона сохранения энергии получаем выражение для тепла . Учитывая, что сила Архимеда , получим искомое выражение для выделившегося тепла .

 

16. Постоянно включенный холодильник отнимает у охлаждаемых тел одно и то же количества тепла  в единицу времени. Отсюда получаем два уравнения –  и , где  – масса

охлаждаемой воды,  – время охлаждения воды до точки замерзания,

 – время замерзания воды,  – изменение температуры воды. Отсюда получаем  (Дж/кг).

 

17. При горизонтальном расположении конденсатора мы можем рассматривать его как совокупность двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостью

,

где  – расстояние между обкладками конденсатора,  – площадь обкладок. Второй случай эквивалентен двум параллельно соединенным конденсаторам с емкостью

,

где  – доля заполненного диэлектриком пространства между обкладками конденсатора. Из равенства  получаем искомую величину .

 

18. Полезная мощность вентилятора есть , где  — масса перегоняемого в единицу времени воздуха, а  — скорость воздушного потока. Для того чтобы количество ежесекундно перегоняемого воздуха (масса ) увеличилось вдвое, необходимо в два раза увеличить скорость воздушного потока, так что мощность вентилятора станет равной . Поэтому мощность вентилятора нужно увеличить в восемь раз.

 

19. Из аксиальной симметрии задачи следует, что электрическое поле  в области пространства между двумя цилиндрами будет направлено по радиусу  цилиндрической системы координат. Тогда из дифференциальной формы закона Ома получаем радиальную компоненту плотности тока , соответственно, полный ток , протекающий между цилиндрами, определяется выражением , так что . Проинтегрировав это выражение по , получим разность потенциалов между цилиндрами . Сравнивая полученное выражение с законом Ома , найдем искомое сопротивление .

 

20. Процесс приподнимания кольца можно рассматривать как вращательное движение относительно точки, которой кольцо будет опираться на стол. Очевидно, кольцо начнет приподниматься, если вращательный момент силы Ампера  станет больше, чем вращательный момент силы тяжести , где  – магнитный момент кольца. Отсюда получаем критерий . Искомый ток, при котором кольцо начнет приподниматься, соответствует знаку равенства в этом критерии и определяется выражением .

 

21. Под действием заряда , помещенного в центр проводящей сферы, произойдет ее поляризация: на внешней поверхности сферы появится дополнительный заряд , а на внутренней поверхности – заряд –q. В итоге радиальная компонента суммарной силы, действую-щей на сферу, будет определяться выражением , где  — радиус сферы. Условие минимальности заряда  определяется равенством нулю этого выражения, откуда получаем искомую величину .

 

22. Нижний шарик (обозначим его номером 1) долетит до пола через  и наберет при этом скорость . Второй шарик при этом также опустится до высоты  и приобретет такую же скорость . Запишем уравнения движения шариков в проекциях на направленную вверх ось y для момента сразу после отскока первого:  и . В момент столкновения координаты шариков одинаковы, это позволяет найти момент времени столкновения . Подставив это время в любое из уравнений, найдем высоту, на которой произошло столкновение, .

 

23. При поднятии пластинки сначала растянется пружина, а затем на растянутой пружине поднимется пластинка. Пружина будет растягиваться до тех пор, пока сила упругости не уравновесит силу тяжести, действующую на пластину . Найдем удлинение пружины  и работу, затраченную на растяжение . Далее при равномерном подъеме пластины сила упругости, а соответственно, и внешняя сила изменяться не будут, поэтому работа

по подъему . Таким образом, общая работа будет .

 

24. Рассмотрим уравнение химической реакции  . Из двух молей смеси газов получается полтора моля. Запишем уравнения Менделеева–Клапейрона для обоих случаев:  и , здесь  – количества молей водорода, кислорода и водяного пара соответственно. Решая совместно уравнения, получим .

 

25. Запишем уравнения Менделеева–Клапейрона газа в состояниях 1, 2 и 3:  и . Поделив второе на первое, получим  (1), а поделив третье на первое –  (2). Заметим по графику, что координаты точек 1 и 2 пропорциональны . Подставим это выражение в (1) получим, что . Таким образом, .

 

26. Так как шарики притягивались, заряды на них имели противоположные знаки. Пусть для определенности на первом шарике заряд был положительный и по абсолютной величине больше, чем второй: . Так как шарики одинаковы, после соприкосновения на них будут одинаковые электрические заряды , при этом полный алгебраический заряд шариков сохранится: . Записав выражения для силы кулона до соприкосновения и после и поделив одно на другое, получим . Решая два последних уравнения, получим, что .

 

27. Работа по изменению конфигурации электрических зарядов будет равна изменению потенциальной энергии взаимодействия зарядов. Энергии в начальном состоянии и в конечном равны:

,    .

Таким образом, .

28. По закону сохранения электромагнитной энергии , где  – амплитуда общего заряда на обоих конденсаторах . Заряды на параллельно соединенных конденсаторах распределяются пропорционально их емкостям . Решая совместно уравнения, найдем .

 

29. Сила тока, возникающего в кольце, будет равна отношению ЭДС индукции к сопротивлению . Полное сопротивление кольца . ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока , где магнитный поток . В нашем случае площадь  не изменяется, а изменяется только магнитное поле, причем его производная по времени равна . В итоге получаем, что сила тока не зависит от времени и равна .

 

30. При упругих отскоках от вертикальных стенок вертикальная компонента скорости не изменяется, следовательно, время падения на дно будет . При упругих отскоках также не изменяется и величина горизонтальной компоненты скорости (меняется только направление), поэтому общий горизонтальный путь, пройденный телом, не изменится и будет равен . Целая часть от числа  и будет равна числу соударений со стенками. . Для g = 9,8 м/с2 получится N = 90.

 

31. График процесса в осях P–V представляет собой прямую линию вида , где a и b – некоторые постоянные коэффициенты. Найдем эти коэффициенты: . Запишем уравнение Менделеева–Клапейрона для газа и подставим в него полученную зависимость давления от объема . Получается параболическая зависимость температуры от объема, причем ветви параболы направлены вниз, т.е. имеется максимум, который можно найти с использованием дифференциального исчисления. Приравняем к нулю производную от температуры по объему , откуда значение объема при экстремуме , тогда экстремальная температура =0,305 K.

 

32. При соприкосновении проводящих тел заряды перераспределяются пропорционально емкостям тел. Поэтому при первом соприкосновении пластинки и шара , при этом мы учли первоначальное отсутствие заряда на шаре и закон сохранения заряда. При последнем соприкосновении пластинки с шаром заряд с нее уже практически не будет уходить, поэтому .Таким образом, максимально возможный заряд на шаре .

 

33. В начальный момент отклонение маятника от положения равновесия максимально, поэтому уравнение колебаний будет иметь вид . Будем считать углы, отсчитываемые против часовой стрелки, положительными. Циклическая частота . Момент времени соударения со стенкой найдем из уравнения . Период колебаний будет в два раза больше этого времени .

 

34. В верхней точке на заряд действуют три силы: вверх – сила Лоренца , вниз (к центру) – силы тяжести  и натяжения . По второму закону Ньютона , где  скорость заряда в верхней точке, . Скорость в верхней точке найдем из закона сохранения энергии . Мы учли, что силы натяжения и Лоренца направлены перпендикулярно к скорости движения заряда и не изменяют величины его скорости. В итоге .

 

35. Работа по перемещению перегородки пошла на увеличение потенциальной энергии воды в поле сил тяжести. Энергия воды до перемещения . Поскольку вода не перетекала, объем воды в каждой части бассейна сохранился, поэтому уровни воды после перемещения будут . Энергия воды после перемещения . Тогда работа, затраченная на перемещение, будет = 167 кДж.