Название: Числовые ряды (Д.В. Воронин)

Жанр: Информатика

Просмотров: 1301


2.2. признаки сравнения

Рассмотренный в § 1 критерий Коши является мощным средством исследования сходимости рядов, однако практическое его применение часто бывает громоздко и неудобно. На практике обычно используют гораздо более удобные и легче проверяемые так называемые достаточные признаки, т. е. признаки, которые дают достаточные (но не обязательно необходимые) условия для сходимости или расходимости ряда.

Часто сходимость или расходимость ряда устанавливается путем сравнения его с другим рядом, сходимость или расходимость которого уже установлена (последний ряд обычно называют эталонным). Утверждения такого рода называются признаками сравнения.

Теорема 2.2. Признак сравнения 1. Если для членов двух положительных числовых рядов  и , начиная с некоторого номера М, выполняется неравенство аn £ bn ("n ³ M ³ 1), тогда:

а) из сходимости ряда  следует сходимость ряда ;

б) из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

Доказательство. На основании замечания 3 (см. § 1) без нарушения общности можем считать, что неравенство

аn £ bn                                            (2.1)

выполняется "n Î N. Обозначим

 и .

На основании неравенства (2.1) получаем, что

Аn £ Вn, "nÎN.                                   (2.2)

1. Пусть ряд сходится. Тогда по теореме 2.1 его частичные суммы ограничены некоторым числом L > 0. Следовательно, из (2.2) получаем

An £ Bn £ L, "n Î N.

Отсюда в силу той же теоремы 2.1 имеем, что ряд  сходится.

2. Пусть ряд расходится. Тогда по теореме 2.1 его частичные суммы Аn образуют последовательность, монотонно стремящуюся к +¥, а следовательно, в силу неравенства (2.2) получаем, что и частичные суммы Вn образуют последовательность, монотонно стремящуюся к +¥, что и означает расходимость ряда . Теорема доказана.

Следствие 1. Признак сравнения 2. Если для двух положительных числовых рядов  и , (b ¹ 0) существует предел

, (0 £ k £ +¥),

то

1) из сходимости ряда  при условии k <+¥ следует сходимость ряда ;

2) из расходимости ряда  при условии k > 0 следует расходимость ряда .

Таким образом, при условии 0 < k < +¥  оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. 1. Пусть ряд  сходится и k <+¥. По определению предела "e > 0 существует число М > 0 такое, что "n > М выполняется неравенство

,

из которого следует неравенство

an < (k+e) bn.                                       (2.3)

По свойству 3 (см. § 1) из сходимости ряда  следует сходимость ряда , из сходимости которого в силу неравенства (2.3) и теоремы 2.2 следует сходимость ряда .

2. Пусть ряд  расходится и k > 0. Очевидно, что из существования предела

 (k ¹ 0)

следует существование предела

.

Отсюда необходимо следует, что ряд  должен расходиться, так как иначе в силу доказанного в подпункте 1 сходился бы и ряд .

Теорема 2.3. Признак сравнения 3. Если члены двух положительных числовых рядов  и , начиная с некоторого номера М, отличны от нуля

an ¹ 0, bn ¹ 0, "n ³ M ³ 1,

и удовлетворяют неравенству

, "n ³ M ³ 1,                           (2.4)

то

1) из сходимости ряда  следует сходимость ряда ;

2) из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

Доказательство. На основании замечания 3 (см. § 1), не умаляя общности, можем считать, что неравенство (2.4) выполняется "n Î N. Взяв первые (n – 1) неравенств, перемножим их почленно (т. е. левую часть каждого неравенства умножим на левую, а правую на правую). Тогда получим соотношение

,

из которого следует неравенство

.                                   (2.5)

1. Пусть ряд  сходится. Тогда по свойству 3 (см. § 1) из сходимости ряда  следует сходимость ряда

,

из сходимости которого в силу неравенства (2.5) и теоремы 2.2 следует сходимость ряда .

2. Пусть ряд  расходится. Тогда в силу неравенства (2.5) и теоремы 2.2 получаем расходимость ряда , из расходимости которого по свойству 3 (см. § 1) следует расходимость ряда

.

Теорема доказана.

Замечание 2. При использовании признаков сравнения в качестве эталонного ряда часто удобно использовать обобщенный гармонический ряд , который сходится при p > 1 и расходится при p £ 1 (доказательство этого свойства ряда содержится в примерах к данному параграфу и проведено с помощью интегрального признака Коши–Маклорена).