Название: Числовые ряды (Д.В. Воронин)

Жанр: Информатика

Просмотров: 1301


2.4. достаточные признаки раабе, куммера, бертрана, гаусса

В случаях, когда признаки Даламбера и Коши не дают результата, иногда утвердительный ответ могут дать признаки, основанные на сравнении с другими рядами, сходящимися или расходящимися «медленнее», чем ряд геометрической прогрессии.

Приведем без доказательства формулировки четырех более громоздких признаков сходимости рядов. Доказательства этих признаков основаны также на теоремах сравнения 1–3 (теоремы 2.2 и 2.3) исследуемого ряда с некоторыми рядами, сходимость или расходимость которых уже установлена. Эти доказательства можно найти, например, в фундаментальном учебнике Г. М. Фихтенгольца ([2], т. 2).

Теорема 2.6. Признак Раабе. Если для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется неравенство

    (Rn  £ 1),      "n ³ M,        (2.10)

то ряд сходится (расходится).

Признак Раабе в предельной форме. Если для членов указанного выше ряда выполняется условие

   ,

то ряд сходится (расходится).

Далее последовательность  называется последовательностью Раабе для ряда .

Замечание 6. Если сравнить признаки Даламбера и Раабе, то можно показать, что второй значительно сильнее первого.

Если для ряда существует предел

,

то для последовательности Раабе существует предел

,

причем

Таким образом, если признак Даламбера дает ответ на вопрос о сходимости или расходимости ряда , то признак Раабе также его дает, причем эти случаи охватываются всего двумя из возможных значений R: +¥ и –¥. Все остальные случаи конечного R ¹ 1, когда признак Раабе дает утвердительный ответ на вопрос о сходимости или расходимости ряда, соответствуют случаю D = 1, т. е. случаю, когда признак Даламбера не дает утвердительный ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда.

Теорема 2.7. Признак Куммера. Пусть {сn} – произвольная последовательность положительных чисел. Если для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется неравенство

(Qn £ 0),  "n ³ M,        (2.11)

то ряд сходится .

Признак Куммера в предельной форме. Если для указанного выше ряда существует предел

  (q < 0),

то ряд сходится .

Из признака Куммера как следствия легко получить доказательства признаков Даламбера, Раабе и признака Бертрана. Последний получается, если в качестве последовательности {сn} взять

сn=nln n,  "n Î N,

для которой ряд

расходится (расходимость этого ряда будет показана в примерах данного параграфа).

Теорема 2.8. Признак Бертрана в предельной форме. Если для членов положительного числового ряда  последовательность Бертрана

                    (2.12)

(Rn – последовательность Раабе) имеет предел

        (b < 1),

то ряд сходится (расходится).

Ниже сформулируем признак Гаусса – наиболее мощный в последовательности расположенных по возрастанию области применимости признаков сходимости рядов: Даламбера, Раабе и Бертрана. Признак Гаусса обобщает всю мощь предыдущих признаков и позволяет изучать значительно более сложные ряды, но, с другой стороны, для его применения требуется проводить более тонкие исследования, чтобы получить асимптотическое разложение отношения соседних членов ряда до второго порядка малости относительно величины .

Теорема 2.9. Признак Гаусса. Если для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется равенство

,       "n ³ M,                       (2.13)

где l и p – постоянные, а tn – ограниченная величина.

Тогда:

а) при l > 1 или l = 1 и р > 1  ряд сходится;

б) при l < 1 или l = 1 и р £ 1  ряд расходится.

2.5. Интегральный признак Коши–Маклорена,

«телескопический» признак Коши и признак Ермакова

Рассмотренные выше признаки сходимости рядов основаны на теоремах сравнения и являются достаточными, т. е. при выполнении условий признака для данного ряда можно сделать определенные утверждения о его поведении, но если условия признака для него не выполнены, то ничего о сходимости ряда утверждать нельзя, он может как сходиться так и расходиться.

Интегральный признак Коши–Маклорена отличается от изученных выше по содержанию, будучи необходимым и достаточным, а также по форме, базируясь на сопоставлении бесконечной суммы (ряда) с бесконечным (несобственным) интегралом, и демонстрирует естественную взаимосвязь теории рядов и теории интегралов. Эта взаимосвязь легко прослеживается также на примере признаков сравнения, аналоги которых имеют место для несобственных интегралов и их формулировки почти дословно совпадают с формулировками для рядов. Полная аналогия наблюдается также в формулировках достаточных признаков сходимости произвольных числовых рядов, которые будут изучены в следующем параграфе, и признаков сходимости несобственных интегралов – таких как признаки сходимости Абеля и Дирихле.

Ниже будут приведены также «телескопический» признак Коши и оригинальный признак сходимости рядов, полученный российским математиком В.П. Ермаковым; признак Ермакова по своей мощности имеет примерно ту же область применения, что и интегральный признак Коши–Маклорена, однако не содержит в формулировке терминов и понятий интегрального исчисления.

Теорема 2.10. Признак Коши–Маклорена. Пусть для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется равенство

    ,                          (2.14)

где функция f(х) неотрицательная и невозрастающая на полупрямой {х ³ М}. Числовой ряд  сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл

.

То есть ряд сходится, если существует предел

,                          (2.15)

и ряд расходится, если предел I = +¥.

Доказательство. В силу замечания 3 (см. § 1) очевидно, что без ограничения общности можем считать М = 1, так как, отбросив (М – 1) членов ряда и сделав замену k = (n – М + 1), приходим к рассмотрению ряда , для которого

, ,

и, соответственно, к рассмотрению интеграла .

Далее заметим, что неотрицательная и невозрастающая на полупрямой {х ³ 1} функция f(х) удовлетворяет условиям интегрируемости по Риману на любом конечном промежутке [1, А], и поэтому рассмотрение соответствующего несобственного интеграла имеет смысл.

Перейдем к доказательству. На любом сегменте единичной длины m £ х £ m + 1 в силу невозрастания f(х) выполняется неравенство

.

Проинтегрировав его по отрезку [m, m + 1] и воспользовавшись соответствующим свойством определенного интеграла, получим неравенство

,   .       (2.16)

Суммируя эти неравенства почленно от m = 1 до m = n, получим

,

.                                        (2.17)

Так как f (х) неотрицательная функция, то интеграл

является неубывающей непрерывной функцией аргумента А. Тогда

,   .

Отсюда и из неравенства (15) следует, что:

1) если I < +¥ (т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая последовательность частичных сумм  ограничена, т. е. ряд сходитcя;

2) если I = +¥ (т. е. несобственный интеграл расходится),

то и неубывающая последовательность частичных сумм  неограничена, т. е. ряд расходится.

С другой стороны, обозначив , из неравенства (16) получаем:

1) если S < +¥ (т. е. ряд сходится), то для неубывающей непрерывной функции I(А), "А ³ 1 существует номер n такой, что n + 1 ³ А, и I(А) £ I(n + 1) £ Sn £ S, а следовательно, , т. е. интеграл сходится;

2) если S = +¥ (т. е. ряд расходится), то для любого достаточно большого А существует n £ А такой что I(А) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥ ), т. е. интеграл расходится. Что и требовалось доказать.

Приведем без доказательства еще два интересных признака сходимости.

Теорема 2.11. «Телескопический» признак Коши. Числовой положительный ряд , члены которого  монотонно убывают, сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд .

Теорема 2.12. Признак Ермакова. Пусть члены положительного числового ряда  таковы, что начиная с некоторого номера М0, выполняются равенства

an = ¦(n), "n ³ М0,

где функция ¦(х) кусочно-непрерывна, положительна и монотонно убывает при х ³ М0.

Тогда если существует число М ³ М0  такое, что для всех х ³ М выполняется неравенство

        ,

то ряд  сходится (расходится).

2.6. Примеры применения признаков сходимости

Пример 1

С помощью теоремы 2 легко исследовать на сходимость следующий ряд

     (a > 0, b ³ 0; "a, b Î R).

Если а £ 1, то нарушается необходимый признак сходимости (свойство 2) (см. § 1).

,

следовательно, ряд расходится.

Если а > 1, то для сn имеет место оценка , из которой в силу сходимости ряда геометрической прогрессии следует сходимость рассматриваемого ряда.

Пример 2

Ряд

сходится в силу признака сравнения 1 (теорема 2.2), так как имеем неравенство

,

а ряд  сходится как ряд геометрической прогрессии.

Пример 3

Покажем расходимость нескольких рядов, которая следует из признака сравнения 2 (следствие 1 теоремы 2.2). Ряд

  (x ¹ 0)

расходится, так как

.

Ряд

          (x > 0)

расходится, так как

.

Ряд

       (a ¹ 0)

расходится, так как

.

Ряд

         (p > 0)

расходится, так как

.

Пример 4

Ряд

          (a > 0)

сходится по признаку Даламбера (теорема 2.4). Действительно

.

Пример 5

Ряд

сходится по признаку Даламбера. Действительно

.

Тогда

Пример 6

Ряд

сходится по признаку Коши (теорема 2.5). Действительно

.

Пример 7

Ряд

       (a > 0)

сходится по признаку Коши (теорема 2.5). Действительно

.

Пример 8

Приведем пример применения признака Раабе. Рассмотрим ряд

,

где обозначение (k)!! означает произведение всех четных (нечетных) чисел от 2 до k (от 1 до k), если k четно (нечетно). Используя признак Даламбера, получим

.

Таким образом, признак Даламбера не позволяет сделать определенного утверждения о сходимости ряда. Применим признак Раабе:

следовательно, ряд сходится.

Пример 9

Приведем примеры на применение интегрального признака Коши–Маклорена.

Обобщенный гармонический ряд

сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

Очевидно, что I < +¥ при p > 1 (интеграл сходится) и I = +¥ при p £ 1 (расходится). Таким образом, исходный ряд также сходится при p > 1 и расходится при p £ 1.

Пример 10

Ряд

расходится одновременно с несобственным интегралом

,

таким образом, интеграл расходится.

 

 
 

 

§ 3. Знакопеременные числовые ряды

3.1. Абсолютная и условная сходимости рядов

В этом параграфе изучим свойства рядов, члены которых являются вещественными числами с произвольным знаком.

Определение 1. Числовой ряд

                                              (3.1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

.                                            (3.2)

Определение 2. Числовой ряд (3.1) называется условно сходящимся или неабсолютно сходящимся, если ряд (3.1) сходится, а ряд (3.2) расходится.

Теорема 3.1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. В соответствии с критерием Коши (теорема 1.1) абсолютная сходимость ряда (3.1) эквивалентна выполнению соотношений

" e > 0, $ М > 0 такое, что " n > M, " p ³ 1 Þ

                             (3.3)

Так как известно, что модуль суммы нескольких чисел не превосходит суммы их модулей («неравенство треугольника»), то из (3.3) следует неравенство (справедливое для тех же, что в (3.3), чисел e, М, п, р)

Выполнение последнего неравенства означает выполнение условий критерия Коши для ряда (3.1), следовательно, этот ряд сходится.

Следствие 1. Пусть ряд (3.1) сходится абсолютно. Составим из положительных членов ряда (3.1), перенумеровав их по порядку (как они встречаются в процессе возрастания индекса), положительный числовой ряд

, (uk = ).           (3.4)

Аналогично, составим из модулей отрицательных членов ряда (3.1), перенумеровав их по порядку, следующий положительный числовой ряд:

, (vm = ).       (3.5)

Тогда ряды (3.3) и (3.4) сходятся.

Если обозначить суммы рядов (3.1), (3.3), (3.4) соответственно буквами A, U, V, то справедлива формула

A = U – V.                                           (3.6)

Доказательство. Обозначим сумму ряда (3.2) через А*. По теореме 2.1 имеем, что все частичные суммы ряда (3.2) ограничены числом А*, а так как частичные суммы рядов (3.4) и (3.5) получаются в результате суммирования части членов частичных сумм ряда (3.2), то очевидно, что они тем более ограничены числом А*. Тогда, вводя соответствующие обозначения, получаем неравенства

 ;

 ,

из которых в силу теоремы 2.1 следует сходимость рядов (3.4) и (3.5).

Далее, если рассмотрим n-ю частичную сумму ряда (3.1), то в ней окажется некоторое число k положительных и некоторое число m отрицательных членов, так что

                                 (3.7)

Так как числа k и m зависят от п, то очевидно, что при п ® ¥ одновременно k ® ¥ и m ® ¥. Тогда, переходя в равенстве (3.7) к пределу (все пределы существуют в силу теоремы 3.1 и по доказанному выше), получаем

т. е. равенство (3.6) доказано.

Следствие 2. Пусть ряд (3.1) сходится условно.  Тогда ряды (3.4) и (3.5) расходятся и формула (3.6) для условно сходящихся рядов не верна.

Доказательство. Если рассмотрим п-ю частичную сумму ряда (3.1), то, как и в предыдущем доказательстве, ее можно записать

в виде

                       (3.8)

С другой стороны, для п-й  частичной суммы ряда  (3.2) можно аналогично написать выражение

                                 (3.9)

Предположим противное, т. е. пусть хотя бы один из рядов (3.3) или (3.4) сходится. Тогда из формулы (3.8) ввиду сходимости ряда (3.1) следует, что и второй из рядов (соответственно (3.5) или (3.4)) сходится как разность двух сходящихся рядов. А тогда из формулы (3.9) следует сходимость ряда (3.2), т. е. абсолютная сходимость ряда (3.1), что противоречит условию теоремы о его условной сходимости.

Таким образом из (3.8) и (3.9) следует, что так как

,

то

,

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Сочетательное свойство для рядов. Сумма бесконечного ряда существенно отличается от суммы конечного числа элементов тем, что включает предельный переход. Поэтому привычные свойства конечных сумм часто нарушаются для рядов либо они сохраняются только при выполнении определенных условий.

Так, для конечных сумм имеет место сочетательный (ассоциативный) закон, а именно: сумма не меняется, если элементы суммы группировать в каком угодно порядке

Рассмотрим произвольную группировку (без перестановки) членов числового ряда (3.1). Обозначим  возрастающую последовательность номеров

и введем обозначения

Тогда ряд, полученный вышеуказанным способом, можно записать в виде

           (3.10)

В приведенной ниже без доказательства теореме собрано несколько важнейших утверждений, связанных с сочетательным свойством рядов.

Теорема 3.2.

1.  Если ряд (3.1) сходится и имеет сумму А  (достаточно условной сходимости), то произвольный ряд вида (3.10) сходится и имеет ту же сумму А. То есть сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.

2.  Из сходимости какого-либо ряда вида (3.10) не следует сходимость ряда (3.1).

3.  Если ряд (3.10) получен специальной группировкой, так что внутри каждой из скобок находятся слагаемые только одного знака, то из сходимости этого ряда (3.10) следует сходимость ряда (3.1).

4.  Если ряд (3.1) положительный и какой-либо ряд вида (3.10) для него сходится, то ряд (3.1) сходится.

5.  Если последовательность членов ряда  (3.1)  бесконечно мала (т. е. ап) и число слагаемых в каждой группе – члене ряда (3.10) – ограничено одной постоянной М (т. е. nk –nk–1 £  М, "k = 1, 2,…), то из сходимости ряда (3.10) следует сходимость ряда (3.1).

6.  Если ряд (3.1)  сходится условно,  то без перестановки всегда можно сгруппировать члены ряда так, что полученный ряд (3.10) будет абсолютно сходящимся.

Замечание 2. Переместительное свойство для рядов. Для конечных числовых сумм имеет место переместительный (коммутативный) закон, а именно: сумма не меняется при любой перестановке слагаемых

где (k1, k2, …, kn) – произвольная перестановка из набора натуральных чисел (1, 2,…, п).

Оказывается, что аналогичное свойство имеет место для абсолютно сходящихся рядов и не выполняется для условно сходящихся рядов.

Пусть имеется взаимно однозначное отображение множества натуральных чисел на себя: N ® N, т. е. каждому натуральному числу k соответствует единственное натуральное число пk, причем множество  воспроизводит без пропусков весь натуральный ряд чисел. Обозначим ряд, полученный из ряда (3.1) с помощью произвольной перестановки, соответствующей указанному выше отображению, следующим образом:

                               (3.11)

Правила применения переместительных свойств рядов отражены в приведенных ниже без доказательств теоремах 3.3 и 3.4.

Теорема 3.3. Если ряд (3.1) сходится абсолютно, то ряд (3.11), полученный произвольной перестановкой членов ряда (3.1), также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Теорема 3.4. Теорема Римана. Если ряд (3.1) сходится условно, то члены этого ряда можно переставить так, что его сумма будет равна любому наперед заданному числу D (конечному или бесконечному: ±¥) или будет не определена.

На основании теорем 3.3 и 3.4 легко установить, что условная сходимость ряда получается в результате взаимного погашения роста n-й частичной суммы при п ® ¥ за счет добавления к сумме то положительных, то отрицательных слагаемых, и поэтому условная сходимость ряда существенно зависит от порядка следования членов ряда. Абсолютная же сходимость ряда является результатом быстрого убывания абсолютных величин членов ряда

и не зависит от порядка их следования.

3.2. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница

Среди знакопеременных рядов выделяется важный частный класс рядов – знакочередующиеся ряды.

Определение 3. Пусть  – последовательность положительных чисел bп > 0, "n Î N. Тогда ряд вида

          (3.12)

называется знакочередующимся рядом. Для рядов вида (3.12) имеет место следующее утверждение.

Теорема 5. Признак Лейбница. Если последовательность, составленная из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда (3.8), монотонно убывает до нуля

bn > bn+1, "n Î N;                       (3.13)

то такой знакочередующийся ряд (3.12) называется рядом Лейбница. Ряд Лейбница всегда сходится. Для остатка ряда Лейбница

имеет место оценка

rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) "nÎN.                (3.14)

Доказательство.  Запишем произвольную частичную сумму ряда (3.12) с четным числом слагаемых в виде

.

По условию (3.13) каждая из скобок в правой части этого выражения есть положительное число, следовательно, с возрастанием k последовательность монотонно возрастает. С другой стороны, любой член В2k последовательности можно записать в виде

B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2  – b2k–1) – b2k,

и так как по условию (3.13) в каждой из скобок последнего равенства стоит положительное число, то, очевидно, выполняется неравенство

B2k < b1,   "k ³ 1.

Таким образом, имеем монотонно возрастающую и ограниченную сверху последовательность , a такая последовательность по известной теореме из теории пределов имеет конечный предел

Далее рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (3.12) с нечетным числом слагаемых, записывая каждую такую сумму в виде

B2k–1 = B2k + b2k,

и учитывая, что общий член ряда (по условию теоремы) стремится к нулю при п ® ¥, получаем

Таким образом доказано, что ряд (3.12) при условии (3.13) сходится и его сумма равна В.

Докажем оценку (3.14). Выше показано, что частичные суммы четного порядка В2k, монотонно возрастая, стремятся к пределу В – сумме ряда.

Рассмотрим частичные суммы нечетного порядка

B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2  – b2k–1).

Из этого выражения, очевидно (так как выполнено условие (3.13)), что последовательность убывает и, следовательно, по доказанному выше стремится к своему пределу В сверху. Таким образом, доказано неравенство

0 < B2k < B < B2k–1 < b1.                              (3.15)

Если теперь рассмотреть остаток ряда (3.12)

как новый знакочередующийся ряд с первым членом bп+1, то для этого ряда на основании неравенства (3.15) можно записать при четных и нечетных индексах соответственно

r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0 < r2k  < b2k+1,

r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …,   r2k < 0, | r2k–1 | < b2k.

Итак, доказано, что всегда остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т. е. для него выполняется оценка (3.14). Теорема доказана.

3.3. Признаки сходимости произвольных числовых рядов

В этом подпараграфе приведем без доказательства достаточные признаки сходимости для числовых рядов с членами, являющимися произвольными действительными числами (любого знака), более того эти признаки пригодны и для рядов с комплексными членами.

Определение 4. Последовательность  называется последовательностью с ограниченным изменением, если сходится ряд

Теорема 3.6. Всякая последовательность с ограниченным изменением сходится.

Теорема 3.7. Если последовательность  монотонная и ограниченная, то  – последовательность с ограниченным изменением.

Теорема 3.8. Первый обобщенный признак Абеля. Пусть члены числового ряда

                                      (3.16)

удовлетворяют условиям:

1) последовательность частичных сумм ряда   ограничена, т. е. выполняются неравенства

                         (3.17)

2) последовательность  является сходящейся к нулю (bп ® 0 при n ® ¥) последовательностью с ограниченным изменением.

Тогда ряд (3.16) сходится.

Теорема 3.9. Признак Дирихле. Пусть члены числового ряда (3.16) удовлетворяют условиям:

последовательность частичных сумм ряда   ограничена (неравенства (3.17));

2) последовательность  является монотонной последовательностью, сходящейся к нулю (bп ® 0 при n ®¥).

Тогда ряд (3.16) сходится.

Теорема 3.10. Второй обобщенный признак Абеля. Пусть члены числового ряда (3.16) удовлетворяют условиям:

1)  ряд   сходится;

2)  последовательность   является произвольной последовательностью с ограниченным изменением.

Тогда ряд (3.16) сходится.

Теорема 3.11. Признак Абеля. Пусть члены числового ряда (3.16) удовлетворяют условиям:

1)  ряд   сходится;

2)  последовательность   является монотонной ограниченной последовательностью.

Тогда ряд (3.16) сходится.

Теорема 3.12. Теорема Коши. Если ряды  и  сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно А и В, то ряд, составленный из всех произведений вида aibj (i = 1,2,…, ¥; j = 1,2,…,¥), занумерованных в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна АВ.

 

3.4. Примеры

Рассмотрим вначале несколько примеров на абсолютную сходимость рядов. Ниже полагаем, что переменная х может быть любым действительным числом.

 

Пример 1

Ряд

сходится абсолютно при |х| < +¥, так как по радикальному признаку Коши (теорема 2.5)

Пример 2

Ряд

сходится  абсолютно  при  |х| < +¥, так как  по признаку Даламбера (теорема 2.4)

Пример 3

Ряд

1) сходится абсолютно при  |х| < 1, так как по радикальному признаку Коши (теорема 2.5)

2) расходится при |x| ³ 1, так как

т. е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда (свойство 2 (см. § 1)).

Пример 4

Ряд

1) сходится абсолютно при  |х| < 1, так как по радикальному признаку Коши (теорема 2.5)

;

2) расходится при  |х|  > 1   по тому же признаку Коши;

3) сходится абсолютно при х = ±1, если s > 1, так как

                                (3.18)

есть обобщенный гармонический ряд, который сходится при s > 1 и расходится при s £ 1;

4) согласно (3.18) расходится при x = 1, если 0 < s £ 1;

5) сходится условно при x = – 1, если 0 < s £ 1, так как

есть ряд, который сходится условно по признаку Лейбница (теорема 3.5), причем он абсолютно не сходится, см. пункт 4 данного примера.

Пример 5

Ряд

1) сходится абсолютно при  |х| < е, так как по признаку Даламбера (теорема 2.4)

2) расходится при |х| > е по тому же признаку Даламбера;

3) расходится  при   |x| = е  по  признаку Даламбера  в непредельной форме, так как

в силу того, что стоящая в знаменателе экспоненциальная последовательность стремится к своему пределу, монотонно возрастая,

Пример 6

Ряд

 (a ¹ 0 – действительное число)

1) сходится абсолютно при |x/a| < 1, т. е. при |x| < |a|, так как в данном случае имеем ряд, составленный из членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = x/a, либо по радикальному признаку Коши (теорема 2.5);

2) расходится при |x/a| ³ 1, т. е. при |x| ³ |a|, так как в данном случае нарушается необходимый признак сходимости (свойство 2 (см. § 1))

Пример 7

Ряд

1) абсолютно не сходится, так как по признаку сравнения (теорема 2.2) с гармоническим рядом в силу неравенства

получаем, что ряд   расходится.

2) сходится условно, так как удовлетворяет условиям теоремы 3.5 Лейбница. Действительно, проверим монотонное убывание последовательности модулей членов ряда

Итак, доказано, что ап+1 < ап, т. е. последовательность модулей членов ряда монотонно убывает, причем ап® 0 при n ® ¥, что легко показать с помощью правила Лопиталя

Таким образом, все условия теорем 3.5 Лейбница выполнены.