Название: Числовые ряды (Д.В. Воронин)

Жанр: Информатика

Просмотров: 1301


1.2. критерий коши сходимости ряда

Так как вопрос о сходимости ряда по определению 2 эквивалентен вопросу о сходимости последовательности его частичных сумм, то напомним критерий Коши сходимости последовательности.

Для сходимости последовательности {Sn} необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа e > 0 нашелся номер М такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n ³ М, и для всех натуральных р Î N выполнялось условие

Как следствие из этого утверждения получаем основную теорему.

Теорема 1.1. Критерий Коши. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа e > 0 нашелся номер М такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n ³ М, и для всех натуральных р Î N выполнялось условие

                                    (1.7)

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно заметить, что выражение, стоящее под знаком модуля в неравенстве (1.7), есть разность (n + р)-й и n-й частичных сумм ряда: Sn+p – Sn и, следовательно, критерий Коши для рядов является просто переформулировкой критерия Коши для конкретной последовательности – последовательности частичных сумм. Заметим, что критерий Коши представляет в основном теоретический интерес, так как его использование для исследования конкретных рядов затруднительно. Поэтому ниже будут приведены более эффективные в практическом отношении признаки сходимости и расходимости рядов.