Название: Числовые ряды (Д.В. Воронин)

Жанр: Информатика

Просмотров: 1301


1.4. примеры числовых рядов

Ниже рассмотрим примеры числовых рядов, сходимость которых исследуется непосредственно путем проверки существования предела последовательности частичных сумм.

Пример 1

Простейшим примером бесконечного числового ряда является сумма бесконечного числа членов геометрической прогрессии

т. е.

.               (1.8)

Ниже будем называть ряд вида (1.8) рядом геометрической прогрессии. Ее n-я частичная сумма легко находится, если воспользоваться непосредственно проверяемым тождеством:

.

Тогда при q ¹ 1 имеем

,           (1.9)

а при q = 1 имеем Sn = аn. Из этих выражений очевидно, что при  последовательность  имеет конечный предел (так как последовательность  образует бесконечно малую последовательность):

,

следовательно, ряд (1.8) сходится к сумме

.                                   (1.10)

При  – ряд (1.8) расходится.

Действительно:

если , , в зависимости от знака числа a;

если же , то последовательность  не имеет предела.

А именно при  последовательность принимает значения 1,0,1,0,…. То есть из нее можно выбрать две подпоследовательности:  и , которые имеют разные пределы: 1 и 0, что и означает отсутствие предела у данной последовательности.

Если , то, обозначив: , , из (1.9) получим последовательность:

,

из которой выбираем две подпоследовательности:

,     ,

имеющие разные пределы:

, .

Пример 2

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение ряда геометрической прогрессии.

Очевидно, что следующий ряд является рядом геометрической прогрессии и его сумма равна:

.

Пример 3

Нетрудно вычислить и сумму следующего ряда, воспользовавшись свойством 4 (см. подпараграф 1.3) и формулой суммы ряда геометрической прогрессии:

.

Заметим, что свойство 4 применимо, так как соответствующие ряды являются сходящимися.

Пример 4

Рассмотрим ряд

.

Докажем сходимость этого ряда и вычислим его сумму. Представим n-й член ряда в виде

,

тогда n-я частичная сумма представляется в виде

.

Так как   ,  то    и,  следовательно, исходный ряд также сходится и его сумма равна

.

Пример 5

Используя непосредственное вычисление предела частичных сумм, покажем расходимость следующего ряда:

.

Очевидно, что , тогда

.

Отсюда получаем

.

Отметим, что хотя рассматриваемый ряд расходится, тем не менее необходимый признак сходимости ряда для него выполняется. Действительно

.

Пример 6

Непосредственным вычислением предела последовательности частичных сумм найдем сумму следующего интересного ряда:

.

Докажем с помощью метода математической индукции, что справедлива следующая формула для n-й частичной суммы данного ряда:

.                (1.11)

Пусть n  =  1. Тогда , т. е. формула (1.11) выполнена. Докажем, что из предположения о выполнимости формулы (1.11) для произвольного n следует ее выполнение для (n+1):

 (1.12)

Известна формула

.

Подставляя в нее a = arctg x и b = arctg y, получим формулу

.

Пользуясь этой формулой, из (1.12) получаем

Таким образом, методом математической индукции формула (1.11) доказана для произвольного n. Отсюда получаем

.

Таким образом, показано, что сумма данного ряда равна .

Пример 7

Используя критерий Коши, нетрудно доказать сходимость следующего ряда:

.

Действительно, для любого    и для всех р ³ 1 выполняется цепочка неравенств

,

причем последнее неравенство выполняется для всех

.

И, следовательно, ряд сходится.

Пример 8

Ряд

расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости (свойство 2):

.

Пример 9

Ряд

расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости (свойство 2). Действительно,  не существует, так как последовательность членов данного ряда содержит в себе по крайней мере две подпоследовательности {a2k–1} и {a2k}  (k = 1,2,3,…}, имеющие различные пределы:

 и .

Следовательно,  .

Пример 10

Ряд

расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости (свойство 2). Действительно, так как ln n < n, то

.

Поэтому

.

Пример 11

Ряд

удовлетворяет необходимому признаку сходимости (свойство 2), но он расходится, так как " номера k < n, имеем: ak > an. Тогда частичные суммы этого ряда Sn удовлетворяют неравенству

.

Поэтому