Название: Проектирование телескопических поплавковых систем для дистанционной постановки (Е.К. Юровский)

Жанр: Технические

Просмотров: 781


3.2. решение задачи

 

Решение задачи строится на основе теории тонких обо-

лочек [4].

Уравнение равновесия для оболочки постоянной толщины, нагруженной силами, симметричными относительно оси цилиндра, имеет вид:

¶4w /¶x4 +4b4w = P/D,                              (3.1)

где b4 = Еh /4a2D; D = Eh3 /12(1 – m2) – жесткость оболочки при изгибе; ω – прогиб оболочки; a – радиус срединной поверхности; h – толщина оболочки; Е – модуль упругости; – коэффициент Пуассона.

Общее решение уравнения имеет вид:

    (3.2)

где f(x) – частное решение уравнения, с1…с4 – постоянные интегрирования, которые нужно определять по условиям на концах оболочки.

Выражения для компонентов деформации имеют вид

e1 = ¶u /¶x;   e2 = –w /a,                             (3.3)

где u – смещение в направлении x.

Из закона Гука для внутренних усилий N1 и N2

N1 = Eh(e1 + me2) /(1 – m2) = Eh(¶u /¶x – mw /a) /(1 – m2) = 0;

N2 = Eh(e2 + me1) /(1 – m2) = Eh(–w /a – m¶u /¶x) /(1 – m2),  (3.4)

(N1 = 0, так как осевая сила отсутствует).

Первое из уравнений (3.4) дает

¶u /¶x = mw /a.                                        (3.5)

Из второго следует

N2 = –Ehw /a.                                        (3.6)

Осевая и тангенциальная деформации элемента, расположенного на расстоянии z от срединной поверхности, будут иметь вид

e1z = e1 – z¶2w /¶x4,

e2z = –w/a.                                        (3.7)

Из закона Гука выражения для напряжений имеют вид

s1 = Е(e1z + me2z) / (1 – m2);

s2 = E(e2z + me1z) / (1 – m2).                         (3.8)

Подставляя сюда выражение для e1z и e2z из (3.7), получим:

s1 = –Ez¶2w /¶x2 /(1 – m2);

s2 = –Ew /a – mEz /(1 – m2) – ¶2w /¶x2.              (3.9)

Интенсивность нагружения:

si =                        (3.10)

Запишем теперь необходимые соотношения для всех восьми участков, которые будут сопрягаться в рассматриваемой задаче. Выражения для прогибов определятся решением (3.2), но частное решение f(x) равно нулю, так как оболочки нагружаются не распределенным, а сосредоточенным кольцевым давлением Р. Для участка 1 все необходимые для дальнейшего решения соотношения запишутся следующим образом:

w1 = eb1x(c1cosb1x+c2sinb1x) + e–b1x(c3cosb1x+c4sinb1x);

¶w /¶x = b1eb1x[c1 (cosb1x – sinb1x) + c2 (sinb1x + cosb1x)] +

+ b1e–b1x[c3 (–cosb1x – sinb1x) + c4 (–sinb1x + cosb1x)];    (3.11)

¶2w /¶x2 = 2b12eb1x(–c1sinb1x + c2cosb1x) +

+2b12e-b1x(c3sinb1x – c4cosb1x);

¶3w /¶x3 = 2b13eb1x[c1(–sinb1x – cosb1x)+c2 (cosb1x – sinb1x)] +

+ 2b13e–b1x[c3 (–sinb1x + cosb1x) + c4 (cosb1x + sinb1x)].

Для остальных участков выражения для прогибов и производных запишутся аналогично.

Следует считать, что участки 4 и 8 представляют собой полубесконечные цилиндрические обечайки, поэтому в выражении для прогибов должны исчезнуть члены с еbx, так как сила Р производит местный прогиб, быстро уменьшающийся по мере увеличения координаты X.

Для участка 4

w4 = e–b4x(c13 cosb4x + c14 sinb4x);                  (3.12)

для участка 8:

w8 = eb8x(c27 cosb8x + c28 sinb8x).                  (3.13)

Для определения 28 постоянных (c1…c28) необходимо составить 29 уравнений. четыре уравнения получим из условий свободных концов и 24 – из рассмотрения условий сопряжения отдельных участков.

Условия сопряжения для двух участков при x = li имеют вид:

wi(x=li) = wi+1(x=li);

ji(x=li) = ji+1(x=li);

Qi(x=li) = Qi+1(x=li);                              (3.14)

Mi(x=li) = Mi+1(x=li),

где fi = ¶wi /¶x – угол поворота; Qi = –Di¶3wi /¶x3 – перерезы-вающая сила; Mi = –Di¶2wi /¶x2 – изгибающий момент; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Если на границе двух сопрягаемых участков не приложена кольцевая сосредоточенная сила Р, то в третьем условии (3.14) правая часть будет равна нулю. Недостающее уравнение для силы Р получим, считая, что суммарный прогиб оболочки в точке приложения силы Р известен и равен натягу. Таким образом,

29-е уравнение, например, для первого периода заклинивания имеет вид:

ïw1(x=l1) ï + ïw7(x=l7)ï = D1,                      (3.15)

где D1 – натяг в точке приложения силы Р.

Условие для свободного конца верхней оболочки

При x = 0 изгибающий момент и перерезывающая сила должны быть равны нулю:

–D1¶2w1/¶x2 = 0,

–D1¶3w1/¶x3 = 0.                                  (3.16)

Аналогично, для свободного конца нижней оболочки

при x = 0:

–D5¶2w5 /¶x2 = 0

–D5¶3w5 /¶x3 = 0.                            (3.17)

Подставляя в (3.14)…(3.17) выражения прогибов и производных, получим систему 29 уравнений для определения коэффициентов ci и значений силы Р. Задаваясь шагом передвижения и составляя уравнения, аналогичные (3.15), можно найти значение прогибов и силы Р для любого момента заклинивания телескопической системы.