Название: Уравнения математической физики(В.И. Икрянников)

Жанр: Технические

Просмотров: 1161


4.2. постановка задачи

для уравнения теплопроводности

Для выделения единственного решения уравнений параболического типа необходимо к уравнению добавить начальные и граничные условия. Рассмотрим постановку краевой задачи на примере уравнения теплопроводности однородного стержня длины . Начальное условие, в отличие от волнового уравнения, состоит лишь в задании значений функции  в начальный момент времени (начального распределения температуры вдоль стержня).

Граничные условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границах  и . Рассматривают три простейших типа граничных условий.

На конце стержня  задана температура

            .   (4.11)

На конце  задана величина теплового потока, протекающего через торцевое сечение стержня. Из (3.9) получим

            .           (4.12)

На конце  задан теплообмен стержня с окружающей средой по закону Ньютона, температура которой  известна. Тогда граничное условие записывается в виде

            .         (4.13)

Для конца  аналогичное условие имеет вид

            .      (4.14)

Аналогичные условия задаются и на конце  стержня. Как и для уравнения гиперболического типа, можно сформулировать предельные задачи на бесконечной и полубесконечной прямой.