Название: анализ переходных процессов линейных электрических цепях( В.В. Афанасьев, В.В. Богданов)

Жанр: Технические

Просмотров: 1169


1. введение

Как известно из основ теории цепей, переходный процесс в электрической цепи с конечным числом сосредоточенных линейных двухполюсных элементов при t ³ 0 описывается системой n линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для переменных её состояния. Решение этой системы уравнений однозначно, если известны начальные значения n переменных состояния цепи. В качестве переменных состояния цепи выбирают токи её катушек и напряжения на её конденсаторах.

В общем случае уравнения для переменных состояния цепи могут быть записаны в матричной форме (в нормальной форме, форме Коши)

,

где       X = X(t) и W = W(t) – векторы переменных состояния цепи (независимых переменных цепи) и воздействий (задающих напряжений и токов),

,     ;

n – общее число независимых энергоёмких элементов (катушек и конденсаторов) цепи;

m – общее число источников напряжения и тока цепи,

A и B – матрицы, элементы которых выражаются через параметры R, L и C пассивных элементов цепи,

,    .

Если известны X(0+) и W(t) для любого , то последующие значения переменных состояния цепи X(t) определяются однозначно.

Вектор Y = Y(t) зависимых переменных (величин, не совпадающих с переменными состояния) находится как линейная комбинация векторов переменных состояния и воздействий:

.

Если k – число искомых зависимых величин, то

,      ,      .

Уравнения для переменных состояния цепи, образующие систему дифференциальных уравнений, можно решить аналитически и численно.

Аналитические методы решения рассматриваются в курсе высшей математики и предполагаются известными.

В среде Mathcad реализовано несколько алгоритмов численного решения задачи Коши для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке (методы Рунге–Кутта с постоянным (фиксированным) и с переменным (автоматически выбираемым) шагом, метод Булирша–Штера, метод Розенброка). Аргументами функций, реализующих эти алгоритмы, являются: вектор стартовых условий X (0+), начальная и конечная точки отрезка интегрирования, число узлов на этом отрезке и имя вектора-функции, содержащей выражения для производных искомого решения.

Примечания

1. Начало отсчёта относительного времени t совмещают либо с моментом коммутации, либо с моментом появления определённого значения задающего напряжения  или тока  цепи.

2. На схеме цепи ключ изображён в исходном состоянии (перед коммутацией).

3. По умолчанию, до коммутации цепь находится в стационарном состоянии или в установившемся (периодическом, в частности, гармоническом) процессе.

4. Значения аргументов гармонических функций выражаются в радианах.

5. Начальные значения переменных состояния цепи равны нулю, если иное не следует из условия задачи.