Название: анализ переходных процессов линейных электрических цепях( В.В. Афанасьев, В.В. Богданов)

Жанр: Технические

Просмотров: 1169


2. анализ переходных процессов в rl-цепях первого порядка

Задача 1

Определите выражения тока i3(t) и напряжения u3(t) катушки в схеме цепи рис. 1.1 после коммутации и постройте их графики, если Iк = 3 А, R1 = 30 Ом, R2 = 15 Ом, L3 = 0.1 Гн.

Решение

Совместим начало отсчёта относительного времени t (t = 0) с моментом коммутации в цепи рис. 1.1. По умолчанию, эта цепь до коммутации (t < 0) находится в стационарном состоянии. Из схемы цепи в стационарном состоянии (рис. 1.2) находим начальное – накануне коммутации

(t = 0–) – значение тока катушки*:

Составим затем дифференциальное уравнение для тока катушки i3(t) – переменной состояния цепи после коммутации (рис. 1.3). По второму закону Кирхгофа

.

Учитывая, что i2(t) = i3(t) и сокращая на L3, имеем:

Интегрируя его в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между начальным i3(0–) и стартовым i3(0+) значениями тока катушки, известное в теории цепей как первый закон коммутации:

i3(0+) = i3(0–) = 2 А.

Так как процесс в цепи после коммутации описывается однородным дифференциальным уравнением, то его частное решение – установившийся ток катушки равен нулю. Общее решение однородного дифференциального уравнения ищем в виде

 А,

где p – единственный корень характеристического уравнения цепи

 с-1.

Вычислим попутно значение постоянной времени t исследуемой цепи

.

Таким образом, ток катушки i3(t) в цепи после коммутации (рис. 1.3) представляется выражением:

 А при t ³ 0.

Заменяя в схеме этой цепи, в соответствии с теоремой компенсации, катушку с током i3(t) источником этого тока, получаем схему рис. 1.4, из которой находим

 В.

Здесь учтено, что значения токов резистора i2(t) и катушки i3(t) одинаковы: i2(t) = i3(t).

Проверка

При известном выражении тока катушки i3(t) зависимость её напряжения от времени u3(t) определяется динамической характеристикой катушки

 В.

Зависимости i3(t) и u3(t) на интервале 0 £ t £ 35 мс с шагом

5 мс представлены в табл. 1.1 и на рис. 1.5, a и б.

Таблица 1.1

t, мс

0

5

10

15

20

25

30

35

i3(t), А

2

0.945

0.446

0.211

0.100

0.047

0.022

0.010

u3(t), В

–30

–14.17

–6.694

–3.162

–1.494

–0.706

–0.333

–0.157

          

                               а                                                                      б

Рис. 1.5

Ход этих кривых можно объяснить следующим образом.

В момент коммутации (t = 0) стартовое значение тока катушки i3(t) положительно, а стартовое значение его производной, как видно из уравнения его состояния, – отрицательно:  Следовательно, при t > 0 ток катушки i3(t) убывает. Вместе с ним убывает и модуль его производной. Очевидно, цепь стремится к такому состоянию, при котором напряжения и токи её элементов равны нулю.

Численное решение этой задачи осуществляется также в два этапа.

Обратимся сначала к полученному ранее уравнению для переменной состояния цепи в виде

в котором

.

Численное решение уравнения для переменной состояния цепи при 0 £ t £ 35  мс найдём с помощью функции rkfixed математического пакета MathCad 7 Pro, реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для этого задаём последовательно:

 – стартовое значение переменной состояния цепи i3(0+);

 – выражение её первой производной;

 – вычисление значений переменной состояния в трёхстах пятидесяти точках (350) интервала времени [0,0.035] с;

 – номера точек разбиения интервала времени пробегают значения от 0 до числа строк без 1 матрицы Z.

 – элементам вектора t присваивают значения элементов первого столбца матрицы Z.

 – элементам вектора i3 присваивают значения элементов второго столбца матрицы Z.

Искомая зависимая величина u3(t) в данном случае пропорциональна только переменной состояния цепи i3(t):

,

где

 

Соответствующее выражение в протоколе MathCad 7 Pro выглядит так:

.

Результаты численного и аналитического исследований переходного процесса в рассматриваемой цепи полностью совпадают, по крайней мере, до трёх цифр после запятой мантиссы мгновенных значений тока i3(t) и напряжения u3(t) катушки.   

Задача 2

Определите выражение тока i3(t) и напряжения u3(t) катушки в схеме цепи рис. 2.1 после коммутации и постройте их графики, если  В, R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, L3 = 0.5 Гн.

Решение

Совместим момент коммутации в цепи рис. 2.1 с началом отсчёта относительного времени t в ней, т. е. с моментом времени

t = 0, когда

 В,       .

По умолчанию, эта цепь до коммутации (t < 0) находится в установившемся гармоническом процессе. Из её комплексной схемы замещения (рис. 2.2) находим сначала значение комплексной амплитуды тока катушки Im3:

 А.

Запишем далее выражение мгновенного тока катушки i3(t) до коммутации:

И, наконец, найдём значение i3(0–) тока катушки накануне коммутации (t = 0–) – его начальное значение

 А.

Составим теперь дифференциальное уравнение для тока катушки i3(t) – переменной состояния цепи после коммутации (рис. 2.3):

Интегрируя его в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между начальным i3(0–) и стартовым i3(0+) значениями тока катушки, известное в теории цепей как первый закон коммутации:

i3(0+) = i3(0–) = – 0.258 А.

Так как процесс в цепи после коммутации описывается однородным дифференциальным уравнением, то его частное решение – установившийся ток катушки равен нулю. Общее решение однородного дифференциального уравнения ищем в виде

 А,

где p – единственный корень характеристического уравнения цепи

 с-1.

Отметим попутно, что значение постоянной времени t цепи равно

.

Таким образом, ток катушки i3(t) в цепи после коммутации (рис. 2.3) представляется выражением:

 А при t ³ 0.

Заменяя в схеме этой цепи, в соответствии с теоремой компенсации, катушку с током i3(t) источником этого тока, получаем схему рис. 2.4, из которой находим

Здесь учтено, что значения токов i2(t) резистора и катушки i3(t) одинаковы: i2(t) = i3(t).

Проверка

При известном выражении тока катушки i3(t) зависимость её напряжения от времени u3(t) определяется динамической характеристикой катушки

 В.

Зависимости i3(t) и u3(t) на интервале 0 £ t £ 75 мс с шагом

15 мс представлены в табл. 2.1 и на рис. 2.5, a и б.

 

Таблица 2.1

t, мс

0

15

30

45

60

75

i3(t), мА

–258

–105

–42.7

–17.3

–7.0

–2.9

u3(t), В

7.74

3.15

1.28

0.52

0.21

0.09

 

 

     

                            а                                                                          б

Рис. 2.5

Численное решение этой задачи осуществляется также в два этапа.

Обратимся сначала к полученному ранее уравнению для переменной состояния цепи в виде

в котором      

 с-1.

Численное решение уравнения для переменной состояния цепи при 0 £ t £ 75  мс найдём с помощью функции rkfixed математического пакета MathCad 7 Pro, реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для этого задаём последовательно.

 – стартовое значение переменной состояния цепи i3(0+);

 – выражение её первой производной;

 – вычисление значений переменной состояния в семистах пятидесяти точках (750) интервала времени [0,0.075] с;

 – номера точек разбиения интервала времени пробегают значения от 0 до числа строк без 1 матрицы Z.

 – элементам вектора t присваивают значения элементов первого столбца матрицы Z.

 – элементам вектора i3 присваивают значения элементов второго столбца матрицы Z.

Искомая зависимая величина u3(t), в данном случае, пропорциональна переменной состояния цепи i3(t):

,

где

 Ом.

Соответствующее выражение в протоколе MathCad 7 Pro выглядит так:

Результаты численного и аналитического исследований переходного процесса в рассматриваемой цепи полностью совпадают, по крайней мере, до трёх цифр после запятой мантиссы мгновенных значений тока i3(t) и напряжения u3(t) катушки.

Задача 3

Определите выражение тока резистора i4(t) в схеме цепи

рис. 3.1 после коммутации и постройте его график, если Uo = 30 В,

R1 = R3 = 5 Ом, R4 = R5 = 2.5 Ом, L2 = 10 мГн.

Решение

Совместим начало отсчёта относительного времени t (t = 0) с моментом коммутации в цепи рис. 3.1. По умолчанию, эта цепь до коммутации (t < 0) находится в стационарном состоянии. Из схемы цепи в стационарном состоянии (рис. 3.2) по формуле «r» находим начальное – накануне коммутации (t = 0–) – значение тока катушки*:

 А.

Составим затем дифференциальное уравнение для тока катушки i2(t) – переменной состояния цепи после коммутации

(рис. 3.3). Считая известным его мгновенное значение и опираясь на принцип компенсации**, изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t ³ 0. Для схемы цепи рис. 3.3 в результате такой замены получим схему замещения, как на

рис. 3.4. Из этой схемы находим выражение напряжения катушки u2(t):

.

 

                               

                  Рис. 3.3                                                        Рис. 3.4

Обратите внимание на то, что множитель при i2 представляет собой взятое со знаком минус выражение сопротивления пассивного двухполюсника («освобождённого» от источника напряжения) относительно полюсов катушки.

Сокращая последнее выражение на L2, получаем искомое уравнение состояния цепи, записанное в нормальной форме (форме Коши):

Здесь

 См/с.

Интегрируя его в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между начальным i2(0–) и стартовым i2(0+) значениями тока катушки, известное в теории цепей как первый закон коммутации:

i2(0+) = i2(0–) = 1.5 А.

Далее задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражение переменной состояния цепи i2(t) (независимой переменной) после размыкания ключа (при t ³ 0), а затем для тех же моментов времени t получим выражение искомой зависимой переменной – тока i4(t) резистора R4.

I этап. При t ³ 0 ток катушки представим суммой двух составляющих

,

где  – принуждённая составляющая тока катушки, совпадающая с его стационарным (установившимся) значением;  – свободная составляющая тока катушки.

Из схемы цепи после коммутации в стационарном состоянии (рис. 3.5) по формуле «r» находим:

 А.

Для составления выражения свободной составляющей тока катушки получим сначала характеристическое уравнение цепи и найдём его корни. Обращаясь к уравнению состояния цепи, записываем его характеристическое уравнение

,

единственный корень которого равен

 с-1.

Отметим попутно, что значение постоянной времени t рассматриваемой цепи равно

= 1.333 мс.

При единственном корне характеристического уравнения

 А.

В соответствии с принятым представлением при t ³ 0 ток катушки

.

Полагая здесь t = 0+, находим

 А.

Следовательно, ток катушки i2(t) в цепи после коммутации (рис. 3.3) представляется выражением:

А при t ³ 0.

II этап. Выражение тока i4(t) резистора R4 в цепи после коммутации (рис. 3.3) получим по схеме замещения этой цепи

(рис. 3.4), в которой на основании принципа компенсации катушка заменена источником найденного тока i2(t):

 А.

Зависимость i4(t) на интервале 0 £ t £ 4.2 мс с шагом 0.6 мс представлена табл. 3.1; рис. 3.6 отображает её на интервале

0 £ t £ 6 мс.

Таблица 3.1

t, мс

0.0

0.6

1.2

1.8

2.4

3.0

3.6

4.2

i4(t), А

2.250

2.159

2.102

2.065

2.041

2.026

2.017

2.011

 

 

Рис. 3.6

Численное решение этой задачи осуществляется также в указанные два этапа.

Обратимся сначала к полученному ранее уравнению для переменной состояния цепи в виде

в котором

a = –750 с-1,       b = 50 См/с.

Численное решение уравнения для переменной состояния цепи при t ³ 0 найдём с помощью функции rkfixed математического пакета MathCad 7 Pro, реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для этого задаём последовательно:

 – стартовое значение переменной состояния цепи i2(0+);

 – выражение её первой производной;

 – вычисление значений переменной состояния в четырёхстах двадцати точках (420) интервала времени [0,0.0042] с;

 – номера точек разбиения интервала времени пробегают значения от 0 до числа строк без 1 матрицы Z.

 – элементам вектора t присваивают значения элементов первого столбца матрицы Z.

 – элементам вектора i2 присваивают значения элементов второго столбца матрицы Z.

Выражение искомой зависимой переменной i4(t) есть линейная функция переменной состояния i2(t) и задающего напряжения Uo:

,

где

,

 См.

Соответствующее выражение в протоколе MathCad 7 Pro выглядит так:

.

Результаты численного и аналитического исследований переходного процесса в рассматриваемой цепи полностью совпадают, по крайней мере, до трёх цифр после запятой мантиссы мгновенных значений тока резистора i4(t).

Задача 4

Определите выражение напряжения u5(t) резистора R5 в схеме цепи рис. 4.1 после коммутации и постройте его график, если  А, R2 = R3 = R5 = 100 Ом, C1 = 10 мкФ,

L4 = 100 мГн.

Решение

Совместим момент коммутации в цепи рис. 4.1 с началом отсчёта относительного времени t в ней, т. е. с моментом времени t = 0, когда

 А,    .

Предположим, что цепь до коммутации (t < 0) находилась в гармоническом процессе. Из комплексной схемы цепи до коммутации (рис. 4.2) находим сначала комплексную амплитуду тока катушки Im4:

,

где Y1, Y2 и Y3 – комплексные проводимости ветвей схемы

 мСм;

 мСм;

 мСм;

Iкm – комплексная амплитуда задающего тока

 А.

Тогда

= А.

Запишем далее выражение мгновенного тока катушки i4(t) до коммутации (t < 0)

И, наконец, вычислим его значение к моменту коммутации

(t = 0–)

 

начальное значение тока катушки.

Составим теперь уравнение заданной цепи после коммутации (рис. 4.3, a) для переменной её состояния – тока катушки i4(t). Считая известным его мгновенное значение и опираясь на принцип компенсации*, изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t ³ 0. (рис. 4.3, б). Из этой схемы находим выражение напряжения катушки u4(t):

.

              

                              а                                                          б

Рис. 4.3

Обратите внимание на то, что множитель при i4 представляет собой взятое со знаком минус выражение сопротивления пассивного двухполюсника («освобождённого» от источника тока iк (t)) относительно полюсов катушки.

Сокращая последнее выражение на L4, получаем искомое уравнение состояния цепи, записанное в нормальной форме (форме Коши):

Здесь

 с-1;

 с-1.

Интегрируя его в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между начальным i4(0–) и стартовым i4(0+) значениями тока катушки, известное в теории цепей как первый закон коммутации:

i4(0+) = i4(0–) = –0.091 А.

Примечание. В RL–цепях после коммутации с гармоническими задающими напряжениями или/и токами часто предпочтительнее сразу вычислять выражение искомой величины, не определяя предварительно выражение переменной состояния цепи. В таких случаях стартовое значение искомой величины находится из схемы цепи при t = 0+, в которой катушка заменяется источником стартового значения её тока.

Далее задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражение переменной состояния (независимой переменной) цепи при

t ³ 0 – тока катушки i4(t) после размыкания ключа, а затем для тех же моментов времени t найдём выражение искомой зависимой переменной – напряжения u5(t) резистора R5 цепи рис. 4.3.

I этап. При t ³ 0 ток катушки представим суммой двух составляющих

,

где i4пр (t) – принуждённая составляющая тока катушки, совпадающая с его гармонической составляющей; i4св (t) – свободная составляющая тока катушки.

Из комплексной схемы цепи после коммутации (рис. 4.4) находим сначала комплексную амплитуду Im4 принуждённой составляющей тока катушки i4пр (t):

= А.

Запишем теперь выражение принуждённой составляющей тока катушки i4(t) (t ³ 0)

Для составления выражения свободной составляющей тока катушки получим сначала характеристическое уравнение и найдём его корни. Обращаясь к уравнению состояния цепи, записываем его характеристическое уравнение

a – p = 0,

единственный корень которого равен

p = a = – 2000 с-1.

Отметим попутно, что значение постоянной времени t рассматриваемой цепи равно

 мс.

При единственном корне характеристического уравнения

i4св (t) = i4св (0+)ept А.

В соответствии с принятым представлением при t ³ 0 ток катушки

i4(t) = i4пр (t) + i4св (0+) ept А.

Полагая здесь t = 0+, находим

i4св (0+) = i4пр (0+) – i4(0+) =

= –0.091 – 0.447sin(0.06) = –0.118 А.

Следовательно, ток катушки i4(t) в цепи после коммутации (рис. 4.3, a) представляется выражением:

i4(t) = i4пр(t) + i4св(t)ept = i4пр (t) + i4св (0+)ept =

= 0.447sin (1000t + 0.06) – 0.118e–2000t А при t ³ 0.

II этап. Выражение напряжения u5(t) резистора R5 в цепи после коммутации (рис. 4.3, a) получим по её схеме замещения

(рис. 4.3, б), в которой на основании принципа компенсации катушка заменена источником найденного тока i4(t):

 

Свернём выражение принуждённой составляющей напряжения резистора u5(t):

= 63.2sin (wt + 0.846) В.

Следовательно,

u5(t) = 63.2sin(wt + 0.846) + 11.8e–2000t В.

Примечание: Искомое выражение напряжения резистора u5(t) при t ³ 0 также можно представить разложением

.

Выражение принуждённой составляющей напряжения u5(t) проще было найти ещё на первом этапе анализа переходного процесса по схеме рис. 4.4:

 =

= 41.94 + j47.34 = 63.25e j0.846 В.

u5пр (t) = 63.2sin (wt + 0.846) В.

Выражение же свободной составляющей напряжения u5(t) можно определить на втором этапе из анализа схемы замещения цепи, «освобождённой» от источника тока iк (t)* (рис. 4.5):

 В.

 

           

                                      а                                                        б

Рис. 4.5

Зависимости напряжения u5(t) и его компонентов на интервале времени 0 £ t £ 2 мс с шагом 0.25 мс представлены табл. 4.1, рис. 4.6 отображает их на интервале 0 £ t £ 5 мс.

Таблица 4.1

t, мс

0.0

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

u5пр(t), В

47.3

56.2

61.6

63.2

60.8

54.7

45.1

32.8

18.4

u5св(t), В

11.8

7.2

4.3

2.6

1.6

1.0

0.6

0.4

0.2

u5(t), В

59.1

63.4

65.9

65.8

62.4

55.7

45.7

33.2

18.6

 

Рис. 4.6

Численное решение этой задачи осуществляется также в указанные два этапа.

Обратимся сначала к полученному ранее уравнению для переменной состояния цепи в виде

в котором

a = – 2000 с-1       b = 1000 См/с.

Численное решение уравнения для переменной состояния цепи i4(t) при 0 £ t £ 5 мс найдём с помощью функции rkfixed математического пакета MathCad 7 Pro, реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для этого задаём последовательно:

 – стартовое значение переменной состояния цепи i4(0+);

 – выражение её первой производной;

 – вычисление значений переменной состояния цепи i4(t) в пятистах точках (500) интервала времени [0,0.005] с;

 – номера точек разбиения интервала времени пробегают значения от 0 до числа строк без 1 матрицы Z.

 – элементам вектора t присваивают значения элементов первого столбца матрицы Z.

 – элементам вектора i4 присваивают значения элементов второго столбца матрицы Z.

Выражение искомой зависимой переменной u5(t) есть линейная функция переменной состояния i4(t) и задающего тока iк (t):

 В,

где

с = – R5 = – 100 Ом,     d = R5 = 100 Ом.

Соответствующее выражение в протоколе MathCad 7 Pro выглядит так:

Результаты численного и аналитического исследований переходного процесса в рассматриваемой цепи полностью совпадают, по крайней мере, до трёх цифр после запятой мантиссы мгновенных значений напряжения u5(t).

Задача 5

Определите выражение напряжения u3(t) резистора R3 в схеме цепи рис. 5.1 и постройте его график, если  А,

R1 = 30 Ом, L2 = 0.2 Гн, R3 = 20 Ом.

Решение

Как известно d-функция (функция Дирака) равна нулю всюду, кроме точки t = 0. Полагаем далее, что при t < 0 цепь рис. 5.2 находится в стационарном состоянии; поэтому начальное значение тока катушки i2(0–) – его значение перед появлением импульса задающего тока – равно нулю:

i2(0–) = 0.

Составим дифференциальное уравнение для тока катушки i2(t) – переменной состояния цепи состояния цепи (рис. 5.3). Считая известным его мгновенное значение и опираясь на принцип компенсации*, изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t ³ 0. Для схемы цепи рис. 5.3, a в результате такой заме