Название: анализ переходных процессов линейных электрических цепях( В.В. Афанасьев, В.В. Богданов)

Жанр: Технические

Просмотров: 1169


3. анализ переходных процессов в rc-цепях первого порядка

Задача 9

Определите выражения напряжения u2(t) и тока i2(t) конденсатора в схеме цепи рис. 9.1 после коммутации и постройте их графики, если Uo = 120 В, R1 = 10 Ом, C2 = 20 мкФ, R3 = 50 Ом.

Решение

Совместим начало отсчёта относительного времени t (t = 0) с моментом коммутации в цепи рис. 9.1. По умолчанию, эта цепь до коммутации (t < 0) находится в стационарном состоянии. Из схемы цепи в стационарном состоянии (рис. 9.2) находим начальное – накануне коммутации (t = 0–) – значение напряжения конденсатора*

 В.

Составим затем дифференциальное уравнение для напряжения конденсатора u2(t) – переменной состояния цепи после коммутации (рис. 9.3). По первому закону Кирхгофа

.

Учитывая, что u2(t) = u3(t) и сокращая на C2, имеем:

Интегрируя его в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между начальным u2(0–) и стартовым u2(0+) значениями напряжения конденсатора, известное в теории цепей как второй закон коммутации:

u2(0+) = u2(0–) = 100 В.

Так как процесс в цепи после коммутации описывается однородным дифференциальным уравнением, то его частное решение – установившееся напряжение конденсатора равно нулю. Общее решение однородного дифференциального уравнения ищем в виде

,

где p – единственный корень характеристического уравнения цепи

с-1.

Вычислим попутно значение постоянной времени t исследуемой цепи

.

Таким образом, напряжение конденсатора u2(t) в цепи после коммутации (рис. 9.3) представляется выражением:

 В при t ³ 0.

Заменяя в схеме этой цепи, в соответствии с теоремой компенсации, конденсатор с напряжением u2(t) источником этого напряжения, получаем схему рис. 9.4, из которой находим

 А.

Здесь учтено, что значения напряжений резистора u3(t) и конденсатора u2(t) одинаковы: u3(t) = u2(t).

Проверка

При известном выражении напряжения конденсатора u2(t) зависимость его тока i2(t) от времени определяется динамической характеристикой конденсатора:

 А.

Зависимости u2(t) и i2(t) на интервале 0 £ t £ 5 мс с шагом

0.5 мс представлены в табл. 9.1 и на рис. 9.5, a и б.

Таблица 9.1

t, мс

0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

u2(t), В

100

60.7

36.8

22.3

13.5

8.2

5.0

3.0

1.8

1.1

0.7

i2(t)

–2.0

–1.21

–0.74

-0.45

–0.27

–0.16

–0.1

–0.06

–0.04

–0.02

–0.01

 

 

              

                 а                                                                             б

Рис. 9.5

Ход этих кривых можно объяснить следующим образом. В момент коммутации (t = 0) стартовое значение напряжения конденсатора u2(t) положительно, а стартовое значение его производной, как видно из уравнения его состояния, отрицательно:  Следовательно, при t > 0 напряжение конденсатора u2(t) убывает. Вместе с ним убывает и модуль его производной. Очевидно цепь стремится к такому состоянию, при котором напряжения и токи её элементов равны нулю.

Численное решение этой задачи осуществляется также в два этапа.

Обратимся сначала к полученному ранее уравнению для переменной состояния цепи u2(t) в виде

в котором

 с-1.

Численное решение уравнения для переменной состояния цепи u2(t) при 0 £ t £ 5 мс найдём с помощью функции rkfixed математического пакета MathCad 7 Pro, реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для этого задаём последовательно:

 – стартовое значение переменной состояния цепи u2(0+);

 – выражение её первой производной;

 – вычисление значений переменной состояния цепи в пятистах точках (500) интервала времени [0,0.005] с;

 – номера точек разбиения интервала времени пробегают значения от 0 до числа строк без 1 матрицы Z.

 – элементам вектора t присваивают значения элементов первого столбца матрицы Z.

 – элементам вектора u2 присваивают значения элементов второго столбца матрицы Z.

Искомая зависимая величина i2(t), в данном случае, пропорциональна только переменной состояния цепи u2(t):

,

где

 Cм.

Соответствующее выражение в протоколе MathCad 7 Pro выглядит так:

.

Результаты численного и аналитического исследований переходного процесса в рассматриваемой цепи полностью совпадают, по крайней мере, до трёх значащих цифр после запятой мантиссы мгновенных значений напряжения u2(t) и тока i2(t) конденсатора.

Задача 10

Определите выражения напряжения u3(t) и тока i3(t) конденсатора в схеме цепи рис. 10.1 после коммутации и постройте их графики, если  А, R1 =

= 800 Ом, R2 = 800 Ом, C3 = 10 мкФ.

Решение

Совместим момент коммутации в цепи рис. 10.1 с началом отсчёта относительного времени t в ней, т. е. с моментом времени

t = 0, когда

 А,        .

По умолчанию, эта цепь до коммутации (t < 0) находится в установившемся гармоническом процессе. Из её комплексной схемы замещения (рис. 10.2) находим сначала значение комплексной амплитуды напряжения конденсатора Um3:

 В.

Запишем далее выражение мгновенного напряжения конденсатора u3(t) до коммутации:

 В.

И, наконец, найдём значение u3(0–) напряжения конденсатора накануне коммутации (t = 0–) – его начальное значение

 В.

Составим теперь дифференциальное уравнение для напряжения конденсатора u3(t) – переменной состояния цепи после коммутации (рис. 10.3):

Интегрируя его в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между начальным u3(0–) и стартовым u3(0+) значениями напряжения конденсатора, известное в теории цепей как второй закон коммутации:

u3(0+) = u3(0–) = 62.0 В.

Примечание. В RC–цепях после коммутации с гармоническими задающими напряжениями или/и токами часто предпочтительнее сразу вычислять выражение искомой величины, не определяя предварительно выражение переменной состояния цепи. В таких случаях стартовое значение искомой величины находится из схемы цепи при t = 0+, в которой конденсатор заменяется источником стартового значения его напряжения.

Так как процесс в цепи после коммутации описывается однородным дифференциальным уравнением, то его частное решение – установившееся напряжение конденсатора равно нулю. Общее решение однородного дифференциального уравнения ищем в виде

 В,

где p – единственный корень характеристического уравнения цепи

 с-1.

Отметим попутно, что значение постоянной времени t цепи равно

.

Таким образом, напряжение конденсатора u3(t) в цепи после коммутации (рис. 10.3) представляется выражением:

 В при t ³ 0.

Заменяя в схеме этой цепи, в соответствии с теоремой компенсации, конденсатор с напряжением u3(t) источником этого напряжения, получаем схему рис. 10.4, из которой находим

=

.

Здесь учтено, что значения напряжений u2(t) резистора и конденсатора u3(t) одинаковы: u2(t) = u3(t).

Проверка

При известном выражении напряжения конденсатора u3(t) зависимость его тока от времени i3(t) определяется динамической характеристикой конденсатора

 А = 77.5 мА.

Зависимости u3(t) и i3(t) на интервале 0 £ t £ 30 мс с шагом 5 мс представлены в табл. 10.1 и на рис. 10.5, a и b.

Таблица 10.1

t, мс

0

5

10

15

20

25

30

u3(t), В

62.0

33.2

17.8

9.5

5.1

2.7

1.5

i3(t), мА

–77.6

–41.5

–22.2

–11.9

–6.4

–3.4

–1.8

 

           

                     а                                                                   б

Рис. 10.5

Численное решение этой задачи осуществляется также в два этапа.

Обратимся сначала к полученному ранее уравнению для переменной состояния цепи в виде

в котором

 с-1.

Численное решение уравнения для переменной состояния цепи при 0 £ t £ 30  мс найдём с помощью функции rkfixed математического пакета MathCad 7 Pro, реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для этого задаём последовательно:

 – стартовое значение переменной состояния цепи u3(0+);

 – выражение её первой производной;

 – вычисление значений переменной состояния цепи в трёхстах точках (300) интервала времени [0,0.03] с;

 – номера точек разбиения интервала времени пробегают значения от 0 до числа строк без 1 матрицы Z.

 – элементам вектора t присваивают значения элементов первого столбца матрицы Z.

 – элементам вектора u3 присваивают значения элементов второго столбца матрицы Z.

Искомая зависимая величина i3(t), в данном случае, пропорциональна переменной состояния цепи u3(t):

где

 См.

Соответствующее выражение в протоколе MathCad 7 Pro выглядит так:

.

Результаты численного и аналитического исследований переходного процесса в рассматриваемой цепи полностью совпадают, по крайней мере, до трёх цифр после запятой мантиссы мгновенных значений напряжения u3(t) и тока i3(t) конденсатора.

Задача 11

Определите выражение тока резистора i1(t) в схеме цепи рис. 11.1 после коммутации и постройте его график, если Uo = 60 В,

R1 = R3 = R4 = R5 = 10 Ом, C2 = 1 мкФ.

Решение

Совместим начало отсчёта относительного времени t (t = 0) с моментом коммутации в цепи рис. 11.1. По умолчанию, эта цепь до коммутации (t < 0) находится в стационарном состоянии. Из схемы цепи в стационарном состоянии (рис. 11.2) находим начальное – непосредственно перед коммутацией (t = 0–) – значение напряжения конденсатора*

 В.

                                                         

                Рис. 11.1                                                   Рис. 11.2

Составим затем дифференциальное уравнение для напряжения конденсатора u2(t) – переменной состояния цепи после коммутации (рис. 11.3). Считая известным выражение его мгновенного значения и опираясь на принцип компенсации*, изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t ³ 0. Для схемы цепи рис. 11.3 в результате такой замены получим схему замещения, как на рис. 11.4. Из неё по формуле «r» находим выражение тока конденсатора i2(t):

где

 Ом2.

 

               

                       Рис. 11.3                                            Рис. 11.4

Обратите внимание на то, что множитель при u2 представляет собой взятое со знаком минус выражение проводимости пассивного двухполюсника («освобождённого» от источника напряжения) относительно полюсов конденсатора.

Сокращая последнее выражение на C2, получаем искомое уравнение состояния цепи, записанное в нормальной форме (форме Коши):

Здесь

 с-1;

 с-1.

Интегрируя его в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между начальным u2(0–) и стартовым u2(0+) значениями напряжения конденсатора, известное в теории цепей как второй закон коммутации:

u2(0+) = u2(0–) = 40 В.

Далее задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражение переменной состояния цепи u2(t) (независимой переменной) после замыкания ключа (при t ³ 0), а затем для тех же моментов времени t найдём выражение искомой зависимой переменной – тока i1(t) резистора R1.

I этап. При t ³ 0 напряжение конденсатора представим суммой двух составляющих

,

где  – принуждённая составляющая напряжения конденсатора, совпадающая с его установившимся значением;  – свободная составляющая напряжения конденсатора.

Из схемы цепи после коммутации в стационарном состоянии (рис. 11.5) находим

 В.

Для составления выражения свободной составляющей напряжения конденсатора получим сначала характеристическое уравнение цепи и найдём его корни. Обращаясь к уравнению состояния цепи, записываем его характеристическое уравнение

,

единственный корень которого равен

 с-1.

Найдём попутно значение постоянной времени t рассматриваемой цепи

мкс.

При единственном корне характеристического уравнения цепи

 В.

В соответствии с принятым представлением при t ³ 0 напряжение конденсатора

.

Полагая здесь t = 0+, находим

 В.

Следовательно, напряжение конденсатора u2(t) в цепи после коммутации (рис. 11.3) представляется выражением:

=  В при t ³ 0.

II этап. Выражение тока i1(t) резистора R1 в цепи после коммутации (рис. 11.3) получим по схеме замещения этой цепи (рис. 11.4), в которой на основании принципа компенсации конденсатор заменён источником найденного напряжения u2(t):

 А.

Зависимость i1(t) на интервале 0 £ t £ 60 мкс с шагом 6 мкс представлена табл. 11.1, рис. 11.5 отображает её на интервале

0 £ t £ 60 мкс.

Таблица 11.1

t, мкс

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

i1(t), А

2.67

2.78

2.85

2.90

2.93

2.96

2.97

2.98

2.99

2.99

 

 

Рис. 11.5

Численное решение этой задачи осуществляется также в указанные два этапа.

Обратимся сначала к полученному ранее уравнению для переменной состояния цепи в виде

в котором

a = – 66.67×103 с-1,         b = 33.33×103 с-1.

Численное решение уравнения для переменной состояния цепи u2(t) при 0 £ t £ 60 мкс найдём с помощью функции rkfixed математического пакета MathCad 7 Pro, реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для этого задаём последовательно:

 – стартовое значение переменной состояния цепи u2(0+);

 – выражение её первой производной;

 – вычисление значений переменной состояния цепи в шестистах точках (600) интервала времени [0,60×10- 6] с;

 – номера точек разбиения интервала времени пробегают значения от 0 до числа строк без 1 матрицы Z.

 – элементам вектора t присваивают значения элементов первого столбца матрицы Z.

 – элементам вектора u2 присваивают значения элементов второго столбца матрицы Z.

Выражение искомой зависимой переменной i1(t) есть линейная функция переменной состояния цепи u2(t) и её задающего напряжения Uo:

,

где

 См,

 См.

Соответствующее выражение в протоколе MathCad 7 Pro выглядит так:

.

Результаты численного и аналитического исследований переходного процесса в рассматриваемой цепи полностью совпадают, по крайней мере, до трёх цифр после запятой мантиссы мгновенных значений тока резистора i1(t).

Задача 12

Определите выражения напряжения u4(t) конденсатора и тока i1(t) резистора R1 в схеме цепи рис. 12.1 после коммутации и постройте их графики, если  В,

R1 = R2 = R3 = 1 Ом, C4 = 100 мкФ.

Решение

Совместим момент коммутации в цепи рис. 12.1 с началом отсчёта относительного времени t в ней, то есть с моментом времени t = 0, когда

 В,

.

По умолчанию, эта цепь до коммутации (t < 0) находится в установившемся гармоническом процессе. Из её комплексной схемы замещения (рис. 12.2) находим сначала значение комплексной амплитуды напряжения конденсатора Um4:

,

где Y1, Y2 и Y1 – комплексные проводимости ветвей схемы

 См;

 См;

 См;

Uom – комплексная амплитуда задающего напряжения

 В.

Тогда

 В.

Запишем далее выражение мгновенного напряжения конденсатора u4(t) до коммутации (t < 0)

 В.

И, наконец, вычислим его значение к моменту коммутации

 В

– начальное значение напряжения конденсатора.

Составим теперь дифференциальное уравнение для напряжения конденсатора u4(t) – переменной состояния цепи после коммутации (рис. 12.3, a). Считая известным, выражение его мгновенного значения и опираясь на принцип компенсации*, изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t ³ 0 (рис. 12.3, б). Из этой схемы находим выражение тока конденсатора i4(t):

.

 

                   

                           а                                                                    б

Рис. 12.3

Обратите внимание на то, что множитель при u4 представляет собой взятое со знаком минус выражение проводимости пассивного двухполюсника («освобождённого» от источника напряжения uo (t)) относительно полюсов конденсатора.

Сокращая последнее выражение на C4, получаем искомое уравнение состояния цепи, записанное в нормальной форме (форме Коши):

Здесь

 с-1;

 с-1.

Интегрируя его в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между начальным u4(0–) и стартовым u4(0+) значениями напряжения конденсатора, известное в теории цепей как второй закон коммутации:

u4(0+) = u4(0–) = 0.109 В.

Далее задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражение переменной состояния (независимой переменной) цепи u4(t) при t ³ 0 – напряжения конденсатора после замыкания ключа, а затем для тех же моментов времени t найдём выражение искомой зависимой переменной – тока i1(t) резистора R1 цепи рис. 12.3.

I этап. При t ³ 0 напряжение конденсатора представим суммой двух составляющих

,

где  – принуждённая составляющая напряжения конденсатора, совпадающая с его гармонической составляющей;  – свободная составляющая напряжения конденсатора.

Из комплексной схемы цепи после коммутации (рис. 12.4) находим сначала комплексную амплитуду Um4 принуждённой составляющей напряжения конденсатора u4пр (t):

,

где

 См.

Значения параметров остальных компонентов цепи определены выше. Тогда

=В.

Запишем теперь выражение принуждённой составляющей напряжения конденсатора u4(t) (t ³ 0)

 В.

Для составления выражения свободной составляющей напряжения конденсатора получим сначала характеристическое уравнение и найдём его корни. Обращаясь к уравнению состояния цепи, записываем его характеристическое уравнение

,

единственный корень которого равен

 с-1.

Найдём попутно значение постоянной времени t рассматриваемой цепи

мкс.

При единственном корне характеристического уравнения

.

В соответствии с принятым представлением при t ³ 0 напряжение конденсатора

Полагая здесь t = 0+, находим

=  В.

Следовательно, напряжение конденсатора u4(t) в цепи после коммутации (Рис. 12.3) представляется выражением:

 В при t ³ 0.

II этап. Выражение тока i1(t) резистора R1 в цепи после коммутации (рис. 12.3, a) получим по её схеме замещения (Рис. 12.3, б), в которой на основании принципа компенсации конденсатор заменён источником найденного напряжения u4(t):

+  А.

Свернём выражение принуждённой составляющей тока резистора i1(t):

 А.

Следовательно,

 А.

Примечание. Искомое выражение тока резистора i1(t) при t ³ 0 также можно представить разложением

.

Выражение принуждённой составляющей тока i1(t) проще было найти ещё на первом этапе анализа переходного процесса по схеме рис. 12.4:

=  А,

где .

 А.

Выражение же свободной составляющей тока i1(t) можно определить на втором этапе из анализа схемы замещения цепи, “освобождённой” от источника напряжения uo (t)* (рис. 12.5):

 А.

             

                      а                                                                 б

Рис. 12.5

Зависимости тока i1(t) и его компонентов на интервале

0 £ t £ 200 мкс с шагом 25 мкс представлены табл. 12.1, рис. 12.6 отображает их на интервале 0 £ t £ 400 мêс.

Таблица 12.1

t, мкс

0

25

50

75

100

125

150

175

200

i1пр (t), А

1.133

1.237

1.264

1.212

1.086

0.891

0.641

0.352

0.040

i1св (t), А

0.174

0.106

0.064

0.039

0.024

0.014

0.009

0.005

0.003

i1(t), А

1.307