Название: алгоритмизированное расчетно-графическое задание (В.А. Аксютин)

Жанр: Информатика

Просмотров: 1617


4.10.1. формирование уравнений кирхгофа в матричной форме

 

Законы Кирхгофа для токов (1) и напряжений (2) имеют универсальный характер и справедливы при любых видах воздействий и любых элементах, включенных в ветви цепи, как линейных, так и нелинейных.

Так как вид уравнений Кирхгофа зависит лишь от способа соединения элементов схемы друг с другом, т. е. от топологии схемы, то их принято называть топологическими.

Рис. 20

Уравнения Кирхгофа можно записать в матричной форме, используя топологические матрицы: узловые, сечений и контурные. Для этого токи ветвей (рис. 20)  и , токи источников тока , напряжения ветвей Uвк и эдс ветвей  записывают в виде матриц столбцов:

; ; ; ; .     (25)

Сопротивления ветвей  записывают в виде квадратной матрицы:

.                            (26)

Так как элементы строки узловой матрицы [А] содержат сведения о ветвях, связанных с узлами цепи, и отражают направления токов в этих узлах, то сумма произведений элементов каждой строки на токи соответствующих ветвей представляет собой первый закон Кирхгофа  и, следовательно,

[А][IВ] = 0.                                  (27)

Определим токи в резисторах для обобщенных ветвей (рис. 1):

[IВ] = [I]+[J].                                   (28)

Подставив (28) в (27), получим первый закон Кирхгофа в матричной форме:

[А][I] = − [А][J].                             (29)

При составлении (29) учитывалось, что произведение прямоугольной матрицы [А] на матрицу-столбец [J] дает также матрицу столбец, элементы которой равны сумме произведений элементов строки матрицы [А] на элементы столбца матрицы [I].

Для обобщенных узлов, какими являются сечения, можно записать первый закон Кирхгофа, аналогичный уравнению (27):

[Q][I] = − [Q][J].                          (30)

В (33) учитывается, что алгебраическая сумма токов в любом сечении электрической цепи равна нулю, а узел рассматривается как частный случай сечения [Q] = [A].

Аналогично может быть представлен второй закон Кирхгофа :

[B][UB] = 0.                                 (31)

Напряжение ветви рис. 20 можно определить через напряжение на резисторе и эдс ветви:

[UB] = [I][R] − [E].                              (32)

Подставив (31) в (32), получим второй закон Кирхгофа:

[B][R][I] = [B][E] или [RЗК] [I] = [B][E].                    (33)

Так как элементы строки матрицы [В] содержат сведения о ветвях, связанных с контурами цепи, и отражают направления напряжений на этих ветвях, уравнения (30) и (33) представляют собой уравнения Кирхгофа в матричной форме (34). Произведение [B][R] = [RЗК] является матрицей сопротивлений второго закона Кирхгофа. Окончательно система уравнений, составленная по первому и второму законам Кирхгофа, представляется блочной матрицей:

.                            (34)

Рассмотрим пример рис. 15. Если определению подлежат токи всех ветвей, то число неизвестных уравнений системы равно числу ветвей с неизвестными токами графа: p = 6 (q = 4 – число узлов,

n = q − 1 = 3 − число независимых узлов и m = p − q +1 = 3 – число

независимых контуров).

; ; ; ; .           (35)

Сопротивления ветвей  записывают в виде квадратной матрицы:

.                     (36)

Определенная узловая матрица [A], составленная для графа, изображенного на рис. 19, при условии, что узел 4 принят за базисный, имеет вид (табл. 2):

.                        (37)

Определенная контурная матрица [B], составленная для графа

рис. 19, имеет вид (табл. 4):

.                   (38)

Матрица сопротивлений второго закона Кирхгофа [RЗК] = [B][R]

.              (39)

Матрица источников тока первого закона Кирхгофа

.            (40)

Матрица эдс контуров второго закона Кирхгофа

.          (41)

 

Итоговая система уравнений Кирхгофа в матричной форме:

.      (42)