Название: алгоритмизированное расчетно-графическое задание (В.А. Аксютин)

Жанр: Информатика

Просмотров: 1617


4.10.2. формирование уравнений узловых потенциалов в матричной форме

 

Узловые потенциалы φ определяются как напряжение между i-м независимым и базисным узлами цепи. Для упрощения расчётов потенциал базисного узла полагается равным нулю. Число узловых потенциалов равно числу независимых узлов цепи. Столбцы узловой матрицы [А] содержат информацию о том, между какими узлами включена k-я ветвь и как она направлена (рис. 16). Если умножить элементы транспонированной матрицы [AT] на соответствующие узловые потенциалы и сложить составляющие, то в результате получатся напряжения на отдельных ветвях.

Вывод уравнений узловых потенциалов. Представим узловые потенциалы цепи в виде матрицы столбца:

.                                 (43)

Тогда, умножая транспонированную узловую матрицу [AT]

(т. е. матрицу [А], в которой строки заменены столбцами) на матрицу узловых напряжений, получим напряжения на ветвях:

[AT] [φ] = [UB].                             (44)

Для обобщённой ветви (рис. 20) токи в резисторах определим по первому закону Кирхгофа:

[I] = [IB] − [J].                           (45)

По второму закону Кирхгофа определим напряжения на резисторах через разницу потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь:

[R] [I] – [UB] = [E].                         (46)

Из (4) определим токи в резисторах

[I] = [R] -1 [[E] + [UB]].                           (47)

Обозначим [G] = [R] -1 − матрица проводимостей

,                       (48)

где Gk = 1 RК.

Из (45) и (47) определим токи в ветвях

[IB] – [J] = [G] [E] + [G] [UB] .                   (49)

Умножим (49) на [A] и учтём, что [A] [IB] = 0

[A] [G] [UB] = − [A] [ [G] [E] + [J] ].                   (50)

С учётом (44) получим:

[A] [G] [AT] [φ] = − [A] [ [J]+[G] [E] ].                   (51)

В (51) обозначим:

[Gуп] = [A] [G] [AT]                               (52)

и [Jуп] = − [A] [[J]+[G] [E]]                     (53)

матрицы узловых проводимостей и узловых токов метода узловых

потенциалов.

Окончательно получим уравнение метода узловых потенциалов:

[Gуп] [φ] = [Jуп].                             (54)

Токи обобщённой ветви (рис. 20) в резисторах определим по закону Ома после определения потенциалов узлов, который можно получить из (46) с учётом (44):

[I] = [G] [[E] + [AT] [φ]].                     (55)

Рассмотрим пример рис. 15 формирования уравнений узловых потенциалов в матричной форме. Пусть определению подлежат токи всех ветвей после расчёта потенциалов узлов. Число неизвестных уравнений системы узловых потенциалов равно числу независимых узлов

n = q – 1 = 3 (p = 6 – число ветвей с неизвестными токами, q = 4 – число узлов).

Обозначим токи в резисторах, эдс и токи источников тока в виде матриц столбцов (35), а потенциалы:

.                                  (56)

Проводимости ветвей  (Gk = 1 RК) запишем в виде квадратной матрицы:

.                     (57)

Определенная узловая матрица [A], составленная для графа, изображенного на рис. 16, 19, при условии, что узел 4 принят за базисный, имеет вид (37).

Матрица узловых проводимостей (52):

.                 (58)

Матрица узловых токов (53)

.                              (59)

Итоговая система уравнений узловых потенциалов в матричной форме:

.  (60)

По (55) определим токи в резисторах:

. (61)