Название: алгоритмизированное расчетно-графическое задание (В.А. Аксютин)

Жанр: Информатика

Просмотров: 1617


4.10.3. формирование уравнений контурных токов в матричной форме

 

Топологические матрицы [А], [В] и [Q] можно использовать для определения напряжений и токов ветвей по известным контурным токам. Использование контурных токов позволяет сократить порядок системы уравнений цепи в сравнении с уравнениями Кирхгофа на число независимых узлов. Контурные токи [IKT] определяют, как токи в независимых контурах, направления которых совпадают с направлениями обхода контуров. Токи в ветвях определяются как алгебраическая сумма контурных токов, обтекающих данную ветвь. Столбцы контурной матрицы [В] содержат информацию об i-й ветви, которая входит в контуры, и их взаимных направлениях.

Представим контурные токи в виде матрицы столбца:

                                      (62)

Токи в ветвях получим, умножив транспонированную контурную матрицу [Вт] (т. е. матрицу [В], в которой строки заменены столбцами) на матрицу контурных токов [IKT]:

[IB] = [Вт] [IKT].                                 (63)

Для обобщённой ветви (рис. 20) токи в резисторах:

[I] = [IB] − [J] = [Вт] [IKT] − [J].                 (64)

Для получения уравнений контурных токов используем второй закон Кирхгофа в матричной форме:

[B] [R] [I] = [B] [E].                     (65)

Подставив в уравнение (65) соотношения (64) и (63) получим:

[B] [R] [Вт] [IKT] = [B] [E] + [B] [R] [J].             (66)

Введём обозначение матриц:

матрица сопротивлений второго закона Кирхгофа

[RЗК] = [B] [R]                               (67

матрица контурных сопротивлений

[RKT] = [RЗК] [Вт]                         (68)

матрица контурных эдс

[EKT] = [B] [[E] + [R] [J]].                      (69)

Запишем уравнений контурных токов в матричной форме:

[RKT] [IKT] = [EKT].                          (70)

Рассмотрим пример рис. 15 формирования уравнений контурных токов в матричной форме. Пусть определению подлежат токи всех ветвей после расчёта контурных токов. Число неизвестных уравнений системы контурных токов равно числу независимых контуров:

m = p − q + 1 = 3 (p = 6 – число ветвей с неизвестными токами,

q = 4 – число узлов).

Пусть токи ветвей  и , токи источников тока , напряжения ветвей UК и эдс ветвей  записывают в виде матриц столбцов (35). Матрица контурных токов:

.                                 (71)

Сопротивления ветвей  записывают в виде квадратной матрицы (36). Определенная узловая матрица [A] имеет вид (37), а определенная контурная матрица[B] – (38).

По (67), (68) и (69) определим матрицы сопротивлений второго закона Кирхгофа, контурных сопротивлений и контурных эдс

.                 (72)

.             (73)

.                            (74)

                          (75)

Для обобщённой ветви (рис. 20) токи в резисторах определим

по (64):

.          (76)