Название: Вычислительная математика (В.Т. Кононов,Г.П. Чикильдин)

Жанр: Педагогика

Просмотров: 1442


2.2. основные теоретические положения

Из численных методов решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений чаще всего на практике используют алгоритмы Рунге-Кутта и Адамса четвертого порядка точности с прогнозом и коррекцией решения.

Пусть необходимо отыскать решение дифференциального уравнения вида

                  

                                  (2.1)

Учитывая, что  где  – шаг дискретизации по времени, а  выражение (2.1) запишем в виде

               

                                 (2.2)

Численная реализация метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности:

для -го момента времени определяются коэффициенты   

 

                 …

 

 

 

2) для -го момента времени определяются решение и его производные

при   

Описанный алгоритм реализован в подпрограмме N1YRKC (см. раздел 2.4. и  приложение).

Численная реализация метода Адамса четвертого порядка точности с прогнозом и коррекцией решения:

1) для -го момента времени явным методом Адамса третьего порядка точности вычисляется прогноз решения и его производных

2) для -го момента времени неявным методом Адамса третьего порядка точности производится  коррекция решения и его производных

3) для -го момента времени определяется решение и его производные

Последняя операция позволяет повысить порядок точности описанного комбинационного алгоритма на единицу, поскольку при суммировании и ,  погрешности явного и неявного алгоритмов, имеющие противоположные знаки, частично приводятся.  

Данный комбинационный алгоритм реализован в подпрограмме N1YADC (см. раздел 2.4. и приложение).

Метод Адамса проще реализуется на ЭВМ, чем метод Рунге–Кутта, а следовательно, при решении дифференциального уравнения на длительном интервале времени меньше накапливает вычислительные погрешности. Однако решение методом Адамса четвертого порядка точности в -й момент времени определяется через известные решения в (– 1)-й, (– 2)-й и (– 3)-й моменты времени (в общем случае количество точек с известными решениями зависит от порядка точности метода Адамса). Таким образом, начать процедуру решения дифференциального уравнения методом Адамса четвертого порядка точности нельзя.

От этого недостатка свободен метод Рунге-Кутта, в том числе и четвертого порядка точности, согласно которому решение в k-й момент времени определяется через решение только в (– 1)-й момент. Но реализация метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности гораздо сложнее метода Адамса (из-за неоднократного вычисления коэффициентов  на каждом шаге решения), а следовательно, он в большей степени может накапливать вычислительные погрешности на длительных интервалах решения. Поэтому целесообразно использовать сочетание этих алгоритмов. Решение начинают методом Рунге-Кутта, определяют решение в необходимом числе точек, а затем продолжают методом Адамса. Указанный способ реализован в подпрограмме N1YDUA (см. раздел 2.4. и приложение).

Результирующая погрешность численного решения дифференциального уравнения в курсовой работе складывается из двух составляющих: методической (что обусловлено соответствующим выбором шага решения ) и вычислительной (полагаем, что исходные данные заданы точно).

Оценивать погрешности численного решения дифференциального уравнения следует так же, как и при решении задачи аппроксимации [см. (1.15), (1.16)].