Название: Теоретические основы электротехники(Т.Е. Зима, Т.В. Морозова, Ю.В. Нейман )

Жанр: Технические

Просмотров: 1073


4. основные теоретические сведения к расчету сложных цепей

Сложной электрической цепью называют цепь, которая содержит пассивные двухполюсники, образующие последовательного или параллельного соединений (см. рис. 4.1).

Рис. 4.1

Основными методами расчета сложных цепей являются: метод токов ветвей (составление уравнений по законам Кирхгофа), метод контурных токов и метод узловых потенциалов.

Наиболее рациональным методом является метод, применяя который получают, для расчета токов, наименьшее число уравнений.

Методы контурных токо, узловых потенциалов уменьшают полное число уравнений, необходимых для расчета токов и поэтому, являются наиболее рациональными при расчете сложных цепей.

4.1. Метод контурных токов

Согласно методу предполагается, что в каждом независимом контуре  протекает свой контурный ток. 

Независимыми называются контуры, которые имеют хотя бы одну новую ветвь, не входящую в другие контуры.

Число независимых контуров схемы равно числу уравнений, которые нужно составить по второму закону Кирхгофа:

,

где  – число ветвей схемы,  – число узлов,  – число источников тока. В схеме, представленной на рис. 4.1 число независимых контуров 

Предположение о контурных токах приводит к тому, что число неизвестных, и, соответственно, число уравнений, необходимых для определения этих неизвестных  уменьшается по сравнению с полной системой уравнений Кирхгофа и равно числу уравнений, которые нужно составить по второму закону Кирхгофа , т.е. числу независимых контуров. Этот метод основан на законе Кирхгофа.  Он является фактически записью законов Кирхгофа через контурные токи.  Пусть имеем схему, содержащую   независимых контуров.  Согласно методу контурных токов в каждом -м независимом контуре протекает контурный ток   .  В общем случае система уравнений для расчета контурных токов имеет вид:

                (1)

,

где  – полное (собственное)  сопротивление  -го контура, равное сумме всех сопротивлений, входящих в этот контур,

 – общее (смежное) сопротивление -го  и  -го контуров,

 – для линейных цепей.

Полное сопротивление   всегда больше нуля: .

, если контурные токи в общей (смежной)  ветви протекают (направлены) согласно, и  ,если контурные токи направлены встречно.

 – алгебраическая сумма ЭДС, входящих в -ый контур.

Со знаком «плюс» берутся ЭДС, направление которых совпадает с контурным током  , а со знаком  «минус» направление которых не совпадают  с  .

Контурные токи можно рассчитать, используя теорию определителей:

   ,                                 (2)

где главный определитель системы:

;

алгебраическое дополнение к контурному току :

.

Истинный ток (искомый ток) в любой ветви равен алгебраической сумме  контурных токов, протекающих по этой ветви. Со знаком «плюс» берутся контурные токи, совпадающие с истинным током; со знаком «минус» – несовпадающие с искомым током. Система уравнений (4.1) записана в предположении, что источники энергии можно представить, как источники ЭДС (схема содержит только источники ЭДС:).

При наличии в электрической схеме реальных источников тока они могут быть заменены эквивалентными источниками ЭДС.

Если схема содержит идеальные  источники тока, то целесообразно выбрать задающие токи источников тока в качестве контурных токов. В этом случае число неизвестных контуров токов и, соответственно, число уравнений сокращается на число задающих токов

().

Если в заданной  схеме имеются параллельные ветви, то  замена их эквивалентным сопротивлением сокращает число контуров за счет тех, которые образованы параллельными ветвями.

Метод контурных токов целесообразно применять, когда схема содержат много узлов, но мало независимых контуров.

4.2. Метод узловых потенциалов

Метод контурных токов позволяет исключить из полной системы уравнений Кирхгофа все уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа и сохранить уравнения только для независимых контуров.

Метод узловых потенциалов позволяет сохранить только те  уравнения Кирхгофа, которые составлены для узлов, и исключить уравнения для контуров, составленные по 2-му закону Кирхгофа.

Метод узловых потенциалов рационально применять, когда в схеме узлов меньше, чем независимых контуров.

В основе метода узловых потенциалов лежит первый закон Кирхгофа и закон Ома для участка цепи с ЭДС.

Пусть схема имеет число узлов . Число уравнений, которые должны быть составлены по 1-му закону Кирхгофа, равно .

Столько уравнений необходимо составить и по методу узловых потенциалов, принимая потенциал одного из узлов равным нулю.

Пусть . В общем виде уравнения, составленные по методу узловых потенциалов, имеют вид:

=,

=,      (4.3)

=,

где   – собственная проводимость узла  , равная сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к  «»-му узлу:

,     ,

 – общая проводимость узлов «k» и «»,  равная сумме проводимостей ветвей, соединяющих узлы «k» и «». Общая проводимость узлов всегда отрицательная:

.

 – алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости тех ветвей, которые присоединены к узлу «» и содержат источники ЭДС.

Произведение  берется со знаком  «плюс» в том случае, если в рассматриваемой ветви ЭДС направлена к узлу «k», и со знаком «минус», когда ЭДС направлена от узла «k» .

 – алгебраическая сумма задающих токов источников тока, связанных с узлом «». Задающие токи , втекающие в узел, берутся со знаком «плюс», а вытекающие из узла – со знаком «минус». Решая систему (4.3) , находят потенциалов всех узлов. Истинные токи рассчитывают по закону Ома для участка цепи с ЭДС:

Для схемы 4.1.  имеем:

 ,      ;

 ,      ;                (4.4)

,     

и т.д.   

Частным случаем метода узловых потенциалов является    метод двух узлов, применяемый к схеме, содержащей множество ветвей и всего два узла (рис. 4.2) (параллельное  соединение ветвей, содержащих  ЭДС и  источники токов).          

Рис. 4.2

 

Применим метод узловых  потенциалов к схеме, изображенной на рис.4.2.

Число уравнений, которые  должны быть составлены согласно методу, равно .  Составим уравнение для узла  а:

,                                  (4.5)

где                       =,

                              =,

 

,                                         (4.6)

 

,

 

.

 

С учетом соотношения (4.6),  перепишем уравнение (4.5)

=.                             (4.7)

Из уравнения (4.7) имеем:

==.      (4.8)

Токи равны (см. рис. 4.2)

,                   (4.9)

.

Если в схеме имеются ветви, содержащие идеальные источники ЭДС (проводимости таких ветвей бесконечно велики), то эти  ветви следует рассматривать  как источники неизвестных токов,  которые  исключаются  при сложении уравнений, составленных формально по методу узловых потенциалов.  Дополнительными связями между неизвестными узловыми потенциалами будут являться известные напряжения между узлами, равные заданным ЭДС.

При наличии только одной ветви с идеальной ЭДС и бесконечной проводимостью целесообразно принять за базисный узел один из узлов, к которому примыкает данная ветвь; тогда потенциал другого узла становится известным и число неизвестных (число уравнений) сокращается на одно.

Пример. Считаем равным нулю потенциал узла 4 ( – базисный узел).

Согласно схеме (рис. 4.3) 

 ,

здесь .

Число неизвестных потенциалов, а следовательно  и уравнений, равно двум (, , ). 

Рис. 4.3

Составим уравнения применительно к узлам, потенциалы которых неизвестны

,                       (4.10)

.

Соответственно:

,      ,   

 – сопротивление идеального источника  тока равно бесконечности,  соответственно проводимость ,

,     .

Учитывая, что в уравнениях (4.10)   и  , перепишем их в следующем виде:

,

.               (4.11)

Из системы (4.11)  находим значения    и    и токи в ветвях, используя закон Ома для участка цепи с ЭДС:

;

;

;

.                   ( 4.12)

Ток в ветви с идеальным источником ЭДС определяется  по первому закону Кирхгофа:  

узел  3:                       (4.13)

5.  примеры решения задач  к теме

«Линейные электрические цепи постоянного тока»

Задача 1

Рис. 5.1

 

Для схемы электрической цепи, изображенной на рис. 5.1, выполнить  следующее

Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях исходной схемы и рассчитать эти токи.

Рассчитать токи во всех ветвях методом контурных токов.

Рассчитать токи  во всех ветвях методом    узловых потенциалов.

Определить ток в ветви с сопротивлением , используя метод эквивалентного генератора.

Составить уравнение баланса мощностей и оценить точность проделанного расчета по методу токов ветвей.

Построить потенциальную диаграмму для внешнего контура цепи.

Параметры  схемы (рис. 5.1):

 В,  В,

 А,

Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом.

1. Расчет токов методом токов  ветвей

(непосредственное применение законов Кирхгофа)

 

Выберем положительные направления токов, как это указано на рис. 5.2.

Рис. 5.2

Определяем количество уравнений, которые должны быть составлены по законам Кирхгофа:

а) число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно:

=,  где  – число узлов в схеме;

б) число  уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно:

,

где – число ветвей схемы,  – число источников тока.

Таким  образом, общее число независимых уравнений, составленных по законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов в пяти ветвях схемы.  Для ветви с источником тока ток определен и равен току источника тока. 

а)  уравнения по первому закону Кирхгофа:

для узла  а: ,

для узла  o: .

б) для записи уравнений по второму закону Кирхгофа независимый контур выбираем так, чтобы он не содержал источников тока.  

Уравнения по второму закону Кирхгофа:

для контура  a k o p m n a:   ,

для контура   a d e o k a:       ,

для контура   a b c d  a:          .

После подстановки числовых значений в уравнения по п.1.3  получаем систему уравнений

 

                                      

      

Решение системы уравнений  относительно неизвестных токов   позволяет получить их значения: , , , , .  Отрицательный знак для токов , , , , означает, что истинное направление тока противоположно направлению, выбранному в качестве положительного.

Проверку сделаем по второму закону Кирхгофа, например, для внешнего контура  a b c d e o p m n a:

,

 В,

 В.

Погрешность в расчетах составляет  

2. Расчет по методу контурных токов

2.1. Положительное направление токов  оставляем в соответствии с п.1.1 решаемой задачи 1, как это изображено на рис. 5.2 и 5.3.

 

Рис. 5.3

2.2. Количество уравнений равно:

.

2.3. Обратимся к схеме цепи на рис. 5.3 и выберем произвольное направление контурных токов, которые обозначим   , , .

Будем считать, что  ток источника тока    замыкается по дополнительному  контуру, и будем считать его  известным контурным током, обозначив его  , как это показано на рис. 5.3  ().

Принимая за положительное направление контурных токов направление обхода контуров, составим систему уравнений для контурных токов:

2.4. Решение полученной системы  уравнений будет иметь вид:

, ,

где  – определитель системы, , ,   – алгебраические дополнения

=

(Ом3);

;

.

Сопоставляя положительные направления токов в ветвях, указанных на рис. 5.3, с направлениями найденных контуров, истинные токи определим следующим образом:

= А,        = А,

= А,        = А,

= А

3. Расчет по методу узловых потенциалов

(напряжений)

Расчет цепи  (рис. 5.2) производим  в два этапа.

На первом этапе определяются узловые  потенциалы.

На втором этапе определяются токи в ветвях схемы, используя найденные узловые потенциалы.

3.1. Количество уравнений по методу узловых  потенциалов равно =.

3.2. Принимаем потенциал узла   равным нулю:  (как правило это узел, где сходится наибольшее количество ветвей).

3.3. Расчетные уравнения для определения потенциалов    и .

,

=.

3.4. После подстановки числовых значений, имеем:

Решение системы относительно неизвестных потенциалов узлов равно:

 В,  В

3.5. Определение токов. 

По закону Ома для участка цепи с ЭДС в соответствии с рис. 5.2 имеем:

4. Расчет по методу эквивалентного генератора

а

 

б

 

Рис. 5.4

 

4.1. Выделим ветвь с сопротивлением , по которой протекает искомый ток . Исходную схему рис. 5.4, а по отношению к зажимам ветви с сопротивлением  представим в виде эквивалентного генератора рис. 5.4, б, ЭДС которого (Ег) численно равна напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, а внутреннее сопротивление генератора   равно входному сопротивлению цепи относительно выделенных зажимов  ео.

Для вновь образованной схемы (рис. 5.4, б), на основании второго закона Кирхгофа,  определим ток  в ветви  с  сопротивлением :

.

Основной расчет сводится  к определению параметров эквивалентного генератора  и  .

 

4.2. По определению  равно напряжению холостого хода  на зажимах  разомкнутой ветви с сопротивлением   (рис. 5.5).

Рис. 5.5

По второму закону Кирхгофа для контура  aeoka, имеем:

.

Откуда

.

Ток найдем, используя метод контурных токов (см. рис. 5.5). Примем  и составим уравнение по методу контурных токов для контурного тока :

,

А.

Искомый ток

 А.

Соответственно

4.3. Для расчета   относительно зажимов ое , источники  ЭДС   =   закорачиваем, а источник тока   размыкаем , тем самым превращаем активный двухполюсник  в соответствующий ему пассивный   двухполюсник.

Таким образом, 

 

Рис. 5.6

4.4. Определяем ток :

= А.

 

5. Составление уравнения

энергетического баланса

или уравнения баланса мощностей

(рис. 5.2)

При составлении уравнения баланса мощностей необходимо учитывать, что в тех ветвях цепи, где направление тока совпадает с направлением ЭДС, соответствующий источник ЭДС следует рассматривать как  генератор энергии, а в тех ветвях, где направления ЭДС и тока противоположны, источник ЭДС следует рассматривать как потребитель энергии, и в уравнение баланса он входит со знаком минус . Все сопротивления, независимо от направления протекающего через них тока, являются потребителями энергии.

Уравнение баланса мощностей для рассматриваемой схемы рис. 5.2 имеет вид

,

где  – напряжение на зажимах источника тока  .

Знак составляющей  мощности источника тока определяется следующим образом: знак «плюс» берется, если    и знак «минус», если .

Мощность источника тока равна:

.

Напряжение  определим, по второму закону Кирхгофа, задавшись положительным направлением обхода контура, включающего ветвь с источником тока, например, для контура   ):

.

Откуда

= В.

Окончательно, выражение для уравнения баланса мощностей с учетом найденного   запишется в виде

После подстановки числовых значений имеем 91,21=91,1 Вт.  

6. Построение потенциальной диаграммы

6.1. Для построения потенциальной диаграммы возьмем внешний контур  (рис. 5.2). 

Принимаем потенциал произвольной точки равным нулю ().

6.2. Производим расчет потенциалов остальных точек согласно выбранному направлению обхода контура (по часовой стрелке). Расчетные значения токов принимаем в соответствии с п. 1.4 задачи:

,

 В,

 В,

 В,

 В,

.

 

6.3. Определяем масштабы для напряжений    и сопротивлений   .

 

6.4. Построение диаграммы.  На диаграмме по оси абсцисс откладываем значения сопротивлений участков в последовательности расположения их в контуре; по оси ординат – потенциалы соответствующих точек (рис. 5.7).

Потенциальная диаграмма внешнего контура цепи:

Рис. 5.7

Задача 2

Рис. 5.8

Дано: ,,,,,.

Для цепи (рис. 5.8) в общем виде записать уравнения и формулы для определения токов по методу контурных токов.

Количество независимых контуров  (количество уравнений)

=,

,   

Система уравнений по методу контурных токов  (для контурных токов    и  ):

Решение системы  дает значения  токов  и , что позволяет определить  действительные токи  по формулам:

, .

Задача 3

Рис. 5.9

Дано: , , , ,.

Для цепи (рис. 5.9) составить уравнения для расчета токов по методу узловых потенциалов. Определить напряжение  между узлами   и  

Особенностью расчета приведенной схемы является наличие ветви с источником ЭДС   , содержащей нулевые сопротивления.  В этом случае необходимо потенциал одного из узлов данной ветви принять равным нулю, например, потенциал узла   , тогда потенциал узла  а равен .

Потенциалы остальных  узлов определяются из уравнений

Решение системы уравнений дает значения потенциалов , , .

Задавшись произвольным положительным направлением токов во всех ветвях схемы, по закону Ома для участка цепи с ЭДС получим:

,    ,        ,

,   ,   .

Ток в ветви с источником ЭДС  определяют из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа. Например, для узла а:

, откуда .

Напряжение между узлами    и 

.

Задача 4

Рис. 5.10

Для схемы цепи, изображенной на рис. 5.10, сформировать систему алгебраических уравнений для расчета токов рациональным методом.  Дать решение в общем виде относительно неизвестных токов. Параметры схемы  , , , ,    заданы.

Количество уравнений:

По законам Кирхгофа.

Число уравнений по первому закону равно

.

Число уравнений по второму закону равно

.

Таким образом, при непосредственном применении к расчету   цепи законов Кирхгофа необходимо составить систему из семи алгебраических уравнений.

По методу контурных токов число уравнений равно:

.

По методу узловых потенциалов число уравнений равно

Таким образом, расчет цепи методом узловых потенциалов  является наиболее рациональным.

Расчетные уравнения для определения потенциалов имеют вид ():

Решение системы дает   значения  , , .

Используя закон Ома для участков цепи с ЭДС, получим:

,   , , .

 

6. примеры решения задач по теме

«Расчет линейных электрических цепей

однофазного синусоидального тока»

Задача 1

 

Рис. 6.1

Параметры цепи, схема которой изображена на  рис. 6.1, имеют следующие значения:   Ом,   Ом,  Ом,  Ом,  Ом,  Ом.

Напряжение на зажимах цепи равно:

 В.

Определить токи  , , , показания приборов электромагнитной системы. Рассчитать активную, реактивную и полную мощности цепи.

Решение

Переносим решение задачи в комплексную плоскость (переходим к комплексным величинам).   В.

Исходная схема при этом принимает вид, изображенный на рис. 6.2.

  

Рис. 6.2

Ом,

=Ом,

Ом,

Ом,