Название: кратные и криволинейные интегралы (Л. И. Дроздова, Г.Б. Корабельникова)

Жанр: Технические

Просмотров: 2004


Контрольная работа № 6

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

Для успешного выполнения контрольной работы № 6 необходимо внимательно изучить следующие теоретические вопросы:

Определение двойного интеграла. Свойства. Геометрический смысл.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Вычисление площади плоской фигуры и объема тела с помощью двойного интеграла.

Тройной интеграл. Определение. Свойства.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

Криволинейный интеграл второго рода. Свойства.

Вычисление криволинейного интеграла (кривая задана явно  и параметрически ).

Формула Грина.

 

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной кривой

Ñ Введем полярные координаты на плоскости. Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки P, называемой полюсом луча l, называемого полярной осью, и единицы масштаба. Если выбрать декартову систему координат так, чтобы ее начало О совпадало с полюсом полярной системы P, а ось Ox шла по полярной оси l, то между полярными координатами (r, j) и декартовыми координатами (x, y) каждой точки M будет осуществляться следующая связь:

.                            (1)

Чтобы перейти от уравнения заданной кривой  в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно подставить в это уравнение вместо x, y их выражения из формул (1). Тогда полярное уравнение кривой примет вид:

 

  .

Поскольку величина r – величина положительная, то угол j может изменяться только в тех пределах, для которых , т. е. . Построим эту линию по точкам, задавая углу j некоторые значения из этого промежутка. Для вычисления значений r составим таблицу:

j

0

cosj

0

1

0

r

0

2

0

Чтобы построить кривую, проводим из полюса лучи, соответствующие выбранным значениям j, и на каждом луче откладываем отрезки, равные вычисленным значениям полярного радиуса. Полученные точки соединяем плавной кривой.

Область D симметрична относительно полярной оси (рис.2), поэтому достаточно вычислить площадь верхней половины области D и результат удвоить.

Чтобы найти пределы интегрирования по переменной r,  проводим координатные r-линии, т. е. линии, вдоль которых меняется только координата r, j остается постоянной. Уравнение этих линий: j = C. Это – система лучей, выходящих из полюса (см. рис.2). Точкой входа лучей в область D является полюс, где r = 0, следовательно, нижний предел интегрирования по r будет 0. Линией выхода лучей из области D является кривая , значит верхним пределом интегрирования по r будет . Внешний интеграл по j имеет всегда постоянные пределы. В нашем случае – от 0 до .

Для верхней половины области D имеем:   Поэтому

 

.    #

Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндрами   и плоскостями x = –1,  x = 2 (рис. 3).

Ñ Тело, объем которого находим, ограничено снизу параболическим цилиндром , а сверху – цилиндром . Тело проектируется на область D плоскости xOy, ограниченную прямыми: x = –1, x = 2, y = 1 и y = –1. Два последних уравнения получены в результате исключения z из уравнений цилиндров

 

 :

 

 Þ  Þ .

 

В декартовых координатах объем тела вычисляется по формуле:

.

Чтобы расставить пределы интегрирования по z, проведем координатные z-линии, т. е. прямые, параллельные оси Oz. Поверхность входа этих линий в тело V – цилиндр, уравнение которого: , следовательно,  – нижний предел интегрирования по z. Поверхность выхода z-линий из тела V – цилиндр, уравнение которого:  следовательно,  – верхний предел интегрирования по z.

Для нахождения пределов интегрирования по x и y проектируем тело на плоскость xOy. В проекции получаем прямоугольник, ограниченный прямыми ; ; ; . Пределы интегрирования по  y  найдем,  проводя координатные  y-линии,  т. е. линии, параллельные оси Oy в плоскости xOy.  Линия входа  y-линий в прямоугольник: , а линия выхода из прямоугольника: , следовательно, нижний и верхний пределы интегрирования по y равны соответственно , . Пределы интегрирования по x – постоянные: . Итак,

.

С учетом симметрии тела относительно плоскости xOz  имеем:

.   #

Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом   и конусом  (рис. 4).

Ñ Тело ограничено сверху параболоидом  снизу – конусом . Линия L пересечения данных поверхностей определяется системой уравнений:

 Þ .

Исключим z из этой системы:

 Þ  Þ ,  (посторонний корень, так как ), получим  – уравнение вертикальной цилиндрической поверхности, которая проходит через линию L и проектирует тело на плоскость xOy. Полученное уравнение и будет уравнением проекции линии L на плоскость xOy, т. е. окружности , ограничивающей область D.

Так как область D – круг, целесообразно перейти к цилиндрическим координатам: , ,  z = z. Тогда уравнения окружности, ограничивающей область D, конуса и параболоида соответственно принимают вид:

а) окружность: Þ  Þ  Þ ;

 

б) конус:  Þ  Þ  Þ ;

 

в) параболоид:  Þ .

Объем тела в цилиндрических координатах вычисляется по формуле:

.

Чтобы расставить пределы интегрирования по z, проведем координатные z-линии, т. е. прямые, параллельные оси Oz. Поверхность входа этих линий в тело V – конус, уравнение которого , следовательно,  – нижний предел интегрирования по z. Поверхность выхода z-линий из тела V – параболоид, уравнение которого , следовательно,  – верхний предел интегрирования по z.

Для нахождения пределов интегрирования по r и j проектируем тело V на плоскость xOy, получим круг . Для нахождения пределов интегрирования по r проводим r-линии, т. е. лучи, выходящие из начала координат, в данном случае – из центра окружности. Для начала координат , значит,  – нижний предел интегрирования по r. Линия выхода лучей из круга – окружность, уравнение которой , следовательно,  – верхний предел интегрирования по r. Пределы интегрирования по j – постоянные: . Итак,

.

Учитывая симметрию тела относительно плоскостей xOz и yOz, достаточно вычислить объем лишь той части тела, которая расположена в первом октанте, и полученный результат умножить на 4. Поэтому, построив в плоскости xOy окружность  и взяв ее сектор, расположенный в первой четверти, будем иметь:

,                    .

.   #

 

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

 от точки А(1;0) до точки В(0;2):

а) по прямой ;

б) по дуге параболы ;

в) по дуге эллипса  

Вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла.

 

Ñ а) Пользуясь данным уравнением линии, преобразуем криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной интегрирования х, затем вычислим его (рис. 5а). Из уравнения прямой  выразим у через х: , тогда , следовательно,

 

 

Ñ б) Здесь удобно преобразовать криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной интегрирования у, так как x выражается рационально через y (рис. 5б). Заменяя в подынтегральном выражении

,      

 

и учитывая, что y изменяется от 0 до 2, получим:

 

 

 

.  #

 

Ñ в) Преобразуем криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной интегрирования t, а затем вычислим его (рис. 5в):

 

 Þ .

 

Чтобы найти пределы интегрирования, выразим t через x и подставим численные значения x:

 

,

 

.

Таким образом,

 

*

 

.   #

 

Вариант экзаменационного задания

Из следующих уравнений выбрать однородное (линейное) и решить его:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

 

Решить уравнение: .

 

Вычислить интеграл:

где область D ограничена следующими кривыми: , , .

 

Перейдя к полярным координатам, вычислить:

,

где D – четверть круга , лежащая в первом квадранте.

 

Вычислить криволинейный интеграл

где  от M (0,0) до N (2,0).

 

Вычислить с помощью формулы Грина:

, где .