Название: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии ( Е.А. Лебедева, О.Е. Рощенко)

Жанр: Технические

Просмотров: 1167


Понятие уравнения кривой.

Прямая на плоскости: общее уравнение прямой; уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через одну точку в данном направлении; через две данные точки; каноническое уравнение; параметрические уравнения; уравнение прямой в отрезках.

Условие параллельности, перпендикулярности двух прямых, угол между двумя прямыми.

Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Их канонические уравнения, чертежи.

Плоскость. Общее уравнение плоскости; уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору (нормальный вектор); уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнения прямой в пространстве: общие; канонические; параметрические; уравнения прямой, проходящей через две точки. Направляющий вектор прямой.

Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости.

Матрицы и действия с ними

Определение матрицы. Квадратные, треугольные, диагональные, единичные, нулевые, ступенчатые матрицы.

Действия над матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц.

Определитель квадратной матрицы. Его вычисление. Свойства.

Обратная матрица. Ее нахождение.

Ранг матрицы, элементарные преобразования матрицы, приведение матрицы к ступенчатому виду.

Система линейных уравнений. Решение их методом Гаусса, с помощью обратной матрицы, методом Крамера.

 

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить определитель матрицы A:

det A = .

Ñ Это определитель третьего порядка (n = 3), для его вычисления применяем правило “треугольника”:

  #

Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды: А1 (–5; 3; –2), , А3 (0; –2; –1), А4 (2; 3; –1).

1. Найти длину ребра А1А2.

Ñ Чтобы узнать длину ребра А1А2, необходимо вычислить модуль вектора . Найдем координаты , вычитая из координат конца вектора координаты начала:

=(–2–(–5); 3–3; 2–(–2))=(3; 0; 4).

Модуль вектора вычисляется по формуле:

,

где x, y, z – координаты вектора. Следовательно,

.         #

2. Найти угол между ребрами  и .

Ñ Косинус угла между векторами (рис. 1) находим с помощью скалярного произведения по формуле:

.

Здесь в числителе стоит скалярное произведение векторов  и , которое вычисляется по формуле:

.

Найдем  = (7; 0; 1), . Тогда

.

Отсюда

.  #

 

3. Найти площадь грани .

Ñ Площадь параллелограмма (рис. 2), построенного на векторах , , вычисляется с помощью векторного произведения по формуле:

,

 

где ,. Площадь грани  равна половине площади параллелограмма . Следовательно,

,

 

 = (3; 0; 4),  = (5; –5; 3),

 

,

 

,

 

.   #

 

4. Найти объем пирамиды .

Ñ Объем параллелепипеда (рис. 3), построенного на векторах , , , равен модулю смешанного произведения векторов , , , поэтому его можно вычислить по следующей формуле:

 

.

 

Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах, поэтому

 

.

 

Имеем , , . Тогда

.   #

 

5. Найти уравнение прямой А1А2.

Ñ Прямая, проходящая через точку  параллельно направляющему вектору , описывается каноническими уравнениями

.

Прямая А1А2 проходит через точку A1(–5;3;–2), вектор  – направляющий, следовательно,

 – канонические уравнения прямой А1А2. #

6. Найти уравнение плоскости А1А2А3.

Ñ Уравнение плоскости, проходящей через точки , , , не лежащие на одной прямой, имеет вид

.

Следовательно, уравнение плоскости, проходящей через точки А1 (–5; 3; –2), А2 (–2; 3; 2), А3 (0; –2; –1), примет вид

 

      Þ        ,

 

–15(z+2)+20(y–3)–3(y–3)+20(x+5)=0           Þ        20x+17y–15z+19=0.

Отметим, что вектор  = (20;17;–15) перпендикулярен плоскости А1А2А3.                                                                         #

7. Найти угол между ребром  и гранью А1А2А3.

Ñ Углом j между ребром  и гранью А1А2А3 является угол, образуемый  и его проекцией А4О на плоскость А1А2А3.

Вектор  перпендикулярен плоскости А1А2А3, следовательно, . Поэтому .

 

С помощью скалярного произведения можем найти cos a. Углы j и a – острые в прямоугольном треугольнике, следовательно,

 

 (рис. 4).

 

 Найдем

.

Имеем: , , =(20;17;–15),  Следовательно,

.

Отсюда , следовательно, .  #

8. Найти уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

Ñ Высота, опущенная из вершины А4 на грань А1А2А3,.проходит через точку А4 (2; 3; –1) и перпендикулярна грани А1А2А3, следовательно, параллельна нормальному вектору =(20;17;–15), значит,  является направляющим вектором прямой, содержащей высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3. Следовательно, канонические уравнения высоты имеют вид

. #

Пример 3. В прямоугольном треугольнике известны уравнения гипотенузы x – 3y + 7 = 0 и катета x + y – 9 = 0. Найти уравнение второго катета, если известны координаты середины гипотенузы (2;3). Сделать чертеж.

Ñ Найдем координаты точки В пересечения катета BC и гипотенузы AB, для чего решим систему уравнений

.

Зная координаты точки В и середины гипотенузы D, найдем координаты другого конца гипотенузы (точки А) с помощью формул середины отрезка:

.

 

Отсюда , , следовательно, .

Катет АС проходит через точку А (–1;2) и перпендикулярен катету ВС. Из уравнения  катета ВС имеем координаты нормального вектора прямой ВС: , который является направляющим вектором прямой АС. Следовательно, можно записать каноническое уравнение катета АС:

.

Отсюда x – y + 3 = 0 – уравнение катета АС.       #

Пример 4. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А (0;1) и от точки В (0;2) относятся как 2:3.

Ñ Для решения задачи используем формулу расстояния между двумя точками ,:

.

Пусть С (х; y) – точка на искомой линии, тогда получим расстояния , . Так как , имеем

 

 

Это уравнение окружности. Чтобы найти координаты центра и радиус окружности, приведем уравнение окружности к каноническому виду

,

где  – центр окружности, R – ее радиус. Для этого выделим полный квадрат:

 

.

Таким образом, (0; 1/5) – центр окружности, R = 6/5 (рис. 6).   #

 

Пример 5. Дана система уравнений:

.

Доказать ее совместность и решить средствами матричного исчисления.

 Ñ По теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений (СЛУ) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы. Выпишем расширенную матрицу  (А – матрица системы, В – столбец свободных членов) и приведем ее к ступенчатому виду. В качестве ведущего элемента выбираем элемент . С помощью элементарных преобразований матрицы получим эквивалентную матрицу, имеющую нули под этим элементом (в первом столбце):

 .

Аналогично получаем нули под главной диагональю:

~ .

Ранг матрицы – это число ненулевых строк в ступенчатой матрице. Имеем rang A = rang =3, следовательно, система совместна. Так как число неизвестных равно рангу матрицы, то система определена.

Для решения системы имеем равенство

.                                          (1)

Здесь вектор  – матрица-столбец из неизвестных, А – матрица системы, А-1 – обратная ей матрица, В – матрица-столбец из свободных членов. Имеет место формула:

если . Здесь  – определитель матрицы А, Aij – алгебраическое дополнение элемента aij.

Найдем А-1, она существует по теореме об обратной матрице, так как

 

Далее ищем Aij,  по формуле

где Mij – минор элемента aij (определитель)  порядка, который получается вычеркиванием из  i-й строки и j-го столбца. Таким образом,

 

 

  

 

Тогда по формуле (2) имеем

,   .

Следовательно, по формуле (1) получим:

,

Так как , то  – единственное решение системы.                                                                                  #

 

Пример 6. Дана система уравнений:

Решить ее методом Гаусса.

Ñ Выпишем расширенную матрицу системы:

.

Приведем ее к ступенчатому виду. Чтобы , поменяем местами, например, первую и третью строки. Затем в качестве ведущего элемента выбираем элемент . С помощью элементарных преобразований матрицы получим эквивалентную матрицу, имеющую нули под этим элементом (в первом столбце):

~~.

 

Так как имеем две одинаковые строки, то получим

~~.

Так как rang A = rang =2, следовательно, система совместна. Так как число неизвестных больше ранга матрицы, то система не определена. Имеем:  – базисные переменные,  – свободная переменная.

Чтобы найти общее решение системы, нужно базисные переменные выразить через свободные. Для этого надо получить нули над базисными переменными (“обратный ход” алгоритма Гаусса). В частности, получим нуль над единицей второй строки, сложив ее с первой:

~.

Таким образом, получим: . Или в векторной форме:  – общее решение системы.              #