Название: Статика пространственных криволинейных стержней (В.Е. Левин)

Жанр: Технические

Просмотров: 808


2.4. линейные уравнения деформирования

пространственного стержня

Воспользуемся описанием поворота в виде (74), (75) и рассмотрим случай, когда повороты малы. В выражениях, в которые входят компоненты вектора поворота, оставляем только их первые степени. Матрица поворота и ее производные примут вид:

          ,    ,    ,

          ,     ,     ,      (84)

          i = 1, 2, 3;     j = 2, 3, 1;       k = 3, 1, 2.

Полную систему линейных уравнений деформирования криволинейного пространственного стержня можно записать в векторной форме

          ;

                   (85)

          ,

где , ,  – жесткости на изгиб и кручение;  – деформация осевой линии стержня.

В проекциях на глобальные оси система уравнений (85) запишется в виде:

          ;

          ;

          ;

          ;

          ;

          ;        (86)

          ;

          ;

          ;

          ;

          ;

          ,

где  – продольная деформация.

Уравнения (86) могут быть проинтегрированы последовательно. Решение записывается в виде квадратур, в которые входят 12 постоянных, определяемых из краевых условий.

При использовании проекций на локальные оси, связанные с поперечным сечением, получится система более сложного вида.

Линейные соотношения

                 (87)

могут использоваться для построения конечноэлементных аппроксимаций пространственного криволинейного стержня, плоского криволинейного стержня и осесимметричной оболочки произвольного меридиана.