Название: Статика пространственных криволинейных стержней (В.Е. Левин)

Жанр: Технические

Просмотров: 942


2.6. точные решения

В замкнутом виде удается проинтегрировать только линейные уравнения статического равновесия. Для плоских прямых и круговых стержней можно построить решение нелинейной задачи в эллиптических интегралах [6]. Полученные уравнения (82), (83) для прямых и плоских круговых стержней могут быть преобразованы к виду, допускающему интегрирование в эллиптических интегралах. Рассмотрим нерастяжимый стержень. Заменив в уравнениях (82) , , получим:

          ;

          ;

               (89)

          ;

          ,

Если отсутствует распределенная нагрузка, а на конце криволинейного стержня приложена «мертвая» сила , то

          ,       (90)

и задача (89) сводится к решению уравнения

          ,         (91)

которое для кругового () и прямого () стержня может быть приведено к виду

          ,    (92)

где . Решение уравнения (92) может быть выражено через эллиптические интегралы. Перемещение стержня определяется после нахождения угла поворота нормали  интегрированием первых двух уравнений (89).

Рассмотрим линейную задачу для стержня с круговой осевой линией. Уравнение осевой линии запишем в виде

          , (93)

где , , . С осевой линией свяжем трехгранник , оси которого направлены вдоль главноцентральных осей и по касательной к линии (93) . Считаем, что главноцентральная ось  направлена перпендикулярно ортам , :

          ,    ,

          .     (94)

В проекциях на глобальные оси соотношения упругости выглядят так:

          ,        (95)

где , ,  – жесткости на изгиб и кручение. Так как , то . Подставив это в (95), получим:

          .      (96)

В более подробной записи:

          ;

          ;  (97)

          .

Можно показать, что проекции вектора конечного поворота на локальные и глобальные оси равны .

Так как , то

          .       (98)

Более подробно:

          ;

          ; (99)

          .

Сравнивая (97) и (99), получаем известные соотношения упругости [10, с. 289], выраженные через проекции векторов на локальные оси:

          ;

          ;      (100)

          .

Рассмотрим, как связаны проекции перемещения  на различные оси:

          ;

          ; (101)

          ,     ,    .

Выразим проекции вектора поворота на локальные оси через соответствующие проекции вектора перемещения:

          ,

          ,        (102)

          .

В соотношения (102) входят проекции вектора перемещения на локальные оси и их производные.

Таким образом, хотя в некоторых случаях более наглядными являются соотношения, записанные через проекции силовых факторов и перемещений на локальные оси, тем не менее для организации решения лучше приспособлена запись задачи в глобальных координатах. При таком подходе систему уравнений равновесия, соотношений упругости и геометрических соотношений можно привести к виду, разрешенному относительно производных искомых функций и вследствие этого в линейном случае допускающему последовательное интегрирование. Вернуться к проекциям на локальные оси можно и после решения задачи, используя связь между глобальными и локальными координатами.

Введем безразмерные величины:

          ,   ,   ,   ,

          ,   ,   ;   .       (103)

Запишем линейные уравнения задачи для кругового кольца:

          ;

          ;

          ;

          ;     (104)

          ;

          ;

          .

Уравнения (104) можно проинтегрировать последовательно одно за другим. Полученное решение будет содержать шесть произвольных постоянных, которые могут быть определены из краевых условий. Так, для нагруженного только по торцам стержня получим:

          , , ;

          ;

                  (105)

          ;

         

          .    

Если форма стержня отлична от круговой, то схема решения не меняется. Точность решения будет определяться точностью вычисления интегралов. Можно построить численное решение краевой задачи с использованием алгоритма пристрелки.