Название: Статика пространственных криволинейных стержней (В.Е. Левин)

Жанр: Технические

Просмотров: 808


3.1. интегрирование нелинейных уравнений

деформирования пространственного

криволинейного стержня

методом пристрелки

При реализации алгоритма расчета удобно различать «мертвые» и «локальные» распределенные нагрузки. Первые не меняют своей ориентации относительно глобальных осей при деформировании стержня, вторые – относительно локальных осей, связанных со стержнем:

          ;

          ;

          .      (109)

Так, например, для следящей силы имеем

          .     (110)

Для интегрирования уравнений (78) можно воспользоваться методом пристрелки, сводящем решение краевой задачи к решению серии задач Коши [5, 9]. Рассмотрим основные положения этого метода применительно к задаче о деформировании пространственного стержня. Введем в рассмотрение вектор разрешающих функций:

         

          .         (111)

Систему уравнений (78) можно представить в виде:

          ,   ,   ;

          , . (112)

В начальной  и конечной  точках криволинейного стержня имеем:

          ,

.   (113)

Если известен вектор , то задача об определении вектора  вдоль стержня может быть решена как задача Коши.

Обычно одна часть условий задается при , а другая – при . Пусть число неизвестных в точке  равно , а известных ; число известных в точке  равно , а неизвестных . Поскольку суммарное число известных условий должно быть равно 12, отсюда следует, что . Число неизвестных на левом торце стержня равно числу известных на правом торце. Суть метода пристрелки состоит в подборе таких неизвестных на левом торце  стержня, чтобы выполнились заданные условия на правом торце .

Задача решается методом последовательных приближений. Сначала задается нулевое приближение неизвестных при : , ..., , ...,  и численным методом, например методом Рунге–Кутта, решается задача Коши. После решения получаем вектор значений на правом торце стержня .

Выберем из вектора  значения, соответствующие заданным краевым значениям, и обозначим их , . Значения и  в общем случае отличаются друг от друга. С целью корректировки нулевого приближения , ..., , ...,  решается серия задач Коши для вычисления матрицы производных:

          ,

          ;   ,       (114)

где  – шаг численного дифференцирования.

Следующее приближение для искомых неизвестных определяется по формуле

          ,    ,      (115)

где  – обратная к А матрица,  – заданные значения функций на правом торце. Итерационный процесс продолжается до выполнения условия

          ,    ,   (116)

где  – назначаемая точность остановки итерационной процедуры;  – номер приближения. Как только определены искомые значения , то распределение  может быть найдено после решения задачи Коши.

В уравнения (78) и краевые условия входят параметры, определяющие нагружение стержня. Обычно нелинейная задача решается для дискретного значения определенного параметра. Интервал от нуля до заданного значения параметра проходится дискретно. Шаг по параметру подбирается расчетным путем из анализа истории деформирования [1]. При рассматриваемом подходе к решению задачи можно заменить варьируемый параметр в краевом условии и успешно обходить такие участки диаграммы «нагрузка – кинематический параметр», которые без смены параметра неоднозначны.

Хранить при таком подходе к решению нелинейной задачи можно только краевые значения вектора решения в точке . Последовательности дискретных точек на диаграмме «нагрузка – кинематический параметр» соответствует последовательность векторов краевых условий в начальной точке .

Сосредоточенная сила, приложенная в точке, находящейся не на торце стержня, может быть приближенно заменена силой, распределенной на малом участке  между точками интегрирования схемы Рунге–Кутта:

          ,   (117)

где ,  – шаг в методе Рунге–Кутта;  – координата точки приложения силы, ,  – вектор приложенной силы.

В следующем разделе приводятся методические примеры, которые иллюстрируют возможности численного решения краевой задачи для системы уравнений нелинейного пространственного стержня. Решение осуществляется методом пристрелки.