Название: Статика пространственных криволинейных стержней (В.Е. Левин)

Жанр: Технические

Просмотров: 898


1.1. углы эйлера, самолетные

и корабельные углы

Введем в рассмотрение три матрицы

          , ,

          ,       (1)

где  – угол прецессии,  – угол нутации,  – угол чистого вращения – углы Эйлера.

Свяжем с твердым телом тройку ортов ортов , , . Матрица  осуществляет поворот этой тройки ортов вокруг орта , матрицы  и  также описывают повороты. Результат выполнения трех поворотов можно вычислить по формуле . Матрица поворота определена тремя углами Эйлера по формуле

          .

Очевидно, что  – ортогональная матрица.

Рассмотренный выбор углов не является единственным.

Для обобщений более пригодны индексные обозначения. В связи с этим рассмотрим три матрицы поворота:

          ,    ,

          .    (2)

Нижний индекс указывает номер орта, относительно которого производится поворот. Например,  – поворот относительно орта 3 на угол .

Матрица поворота, выраженная через углы Эйлера , , , имеет вид произведения соответствующих матриц:

          .

Здесь важна последовательность поворотов . Другой порядок тех же самых углов приведет к другой матрице поворота – к другой ориентации поворачиваемых векторов.

В общей матрице не участвует поворот второго типа. Поворот третьего типа осуществляется на разных этапах поворота (углы  и ).

.     (3)

(Здесь и далее применены краткие обозначения: ,  и т.д.)

При малых углах

          .       (4)

Последняя матрица означает, что малому повороту (отклонению от начального положения ) твердого тела соответствует малость угла  и суммы углов .

Существуют и другие системы углов, применяемые в теории качки корабля, в задачах ориентации самолета и искусственных спутников земли и т.д.

Матрица поворота, выраженная через самолетные углы , ,  – углы рыскания, тангажа и крена, имеет вид произведения соответствующих матриц:

          .

В более подробном виде:

          .      (5)

При малых углах:

          .  (6)

Матрица поворота, выраженная через корабельные углы , ,  – углы дифферента, крена и рыскания:

          ,

  . (7)

При малых углах

          . (8)

Важно следующее: поворот определяется заданием трех параметров. Эти параметры могут быть, например, углами Эйлера, корабельными углами, самолетными углами.

Углы Эйлера не совсем удобны в описании обратного преобразования, а именно:

          . (9)

Известно описание поворота другими параметрами: Родрига–Гамильтона, Кейли–Клейна и т.д. При использовании параметров Родрига–Гамильтона обратное преобразование получается из прямого изменением знаков у определяющих поворот параметров.

Рассмотрим описание поворота с помощью параметров Родрига–Гамильтона. Это четыре параметра , , , , но они связаны дополнительным условием

          .  (10)

Матрица поворота, выраженная через параметры Родрига–Гамильтона, имеет вид:

         

          .   (11)

Связь параметров Родрига–Гамильтона с углами Эйлера , ,  (углы прецессии, нутации и чистого вращения) выглядит следующим образом:

          ,    ,

          ,    .    (12)

Рассмотрим текущее положение вращающегося тела, закрепленного в одной точке (задача динамики).

Вследствие поворота связанные с телом первоначально орты  

с началом в неподвижной точке перешли в положение :

          .

Поворот может быть описан тремя параметрами.

При описании вращения углами Эйлера проводится три поворота, которые удобно представить в следующем виде.

Первый поворот ,

           вокруг орта  на угол .

Второй поворот  вокруг орта  на угол :

          .

Третий поворот  вокруг орта  на угол :

         

          .    (13)

Рассмотрим для этого описания малые отклонения параметров поворота от достигнутой конфигурации (малый поворот):  относительно орта ,  относительно орта ,  относительно орта . Соответствующий вектор малого поворота  можно представить в виде (для больших поворотов это неверно):

          .    (14)

Для вектора угловой скорости получим:

          . (15)

Проекции вектора угловой скорости на оси, связанные с телом:

          ,

          ,

          .         (16)

Проекции вектора угловой скорости на неподвижные оси:

          ,

          ,

          .         (17)

Проекции на подвижные оси (кинематические уравнения Эйлера) имеют следующий вид:

          ,

          ,

          .    (18)

Для этой системы уравнений характерны нелинейная структура, наличие тригонометрических функций и отсутствие симметрии. Это затрудняет исследование уравнений и решение задачи определения ориентации тела по его угловой скорости. При малых углах  в уравнениях появляется особенность.

Проекции на неподвижные оси:

          ,

          ,

          .          (19)

Упомянутые выше недостатки могут быть устранены при использовании других описаний поворота. Например, при использовании параметров Родрига–Гамильтона аналогичные зависимости имеют вид:

          ,

          ,

          .     (20)

          ,

          ,

          ,

          .      (21)

Эти соотношения не содержат особенностей и имеют симметричную структуру. Тем не менее и эти параметры также доставляют некоторые неудобства при численном интегрировании.