Название: Статика пространственных криволинейных стержней (В.Е. Левин)

Жанр: Технические

Просмотров: 952


1.2. описание пространственного

поворота тройки ортов

с помощью вектора

конечного поворота

Необходимость описания конечного поворота тройки ортов, которые могут быть связаны с твердым телом, возникает во многих областях механики.

Поворот твердого тела в пространстве обычно представляется последовательностью поворотов относительно трех различных осей на определенные углы. Это могут быть следующие углы (см. раздел 1.1):

углы Эйлера

, ,  – углы прецессии, нутации и чистого вращения;

самолетные углы

,,  – углы рыскания, тангажа и крена;

корабельные углы

, ,  – углы дифферента, крена и рыскания.

Матрицу поворота тройки ортов, связанных с телом, можно выразить через введенные углы, перемножая три матрицы, описывающие повороты относительно соответствующих осей.

Поворот может быть описан и по-другому, например, четырьмя параметрами Родрига–Гамильтона, из которых независимых только три. В задачах прикладной теории гироскопов также применяется описание конечного поворота твердого тела. При использовании в описании углов Эйлера матрица поворота для некоторых положений твердого тела вырождается. Введение параметров Родрига–Гамильтона улучшает структуру матрицы. Эти параметры удобны при аналитических исследованиях, но при численном решении задачи ориентации нужно постоянно контролировать выполнение условия связи между ними.

Вместе с тем известно, что всякое перемещение твердого тела относительно неподвижной точки можно произвести с помощью одного поворота вокруг оси, проходящей через эту точку (теорема Эйлера–Шаля).

Вращение твердого тела может быть описано с помощью вектора конечного поворота, имеющего длину, равную углу поворота тела относительно оси, направленной вдоль этого вектора. Это представление связано с классическими описаниями поворота и может быть получено из простого анализа.

Свяжем с некоторой точкой тела декартову систему координат с ортами , , . При повороте тела относительно некоторой оси, проходящей через эту точку, орты , ,  перейдут в орты , , . Положение ортов в пространстве после поворота будет определено, если известен закон преобразования:

          .      (22)

Опишем в соответствии с теоремой Эйлера–Шаля поворот тройки ортов  относительно некоторой оси в пространстве, проходящей через рассматриваемую точку, на угол . Ось зададим вектором , имеющим длину, равную углу поворота тройки ортов относительно этой оси . Направление вращения определяется по правилу правого винта (рис. 1).

 

Рис. 1. Вектор конечного поворота

 

Вычислим ориентацию орта  после его поворота. Определим положение, которое займет, например, орт  в результате поворота вокруг оси  на угол . Вдоль этого вектора направим единичный вектор . Определим еще два единичных вектора  и , ортогональных к (рис. 2):

          ,    .        (23)

В более подробной записи:

          ,    ,

          .        (24)

Рис. 2. Поворот векторов

 

Векторы , ,  лежат в одной плоскости. После поворота в одной плоскости будут лежать и векторы , ,  (вектор  в результате поворота не изменится). Вектор  выразим через векторы  и :

          ,    (25)

где .

В результате поворота вокруг оси  на угол  векторы  и  займут новые положения:

          ,   . (26)

Выразим векторы  и  через орты  глобальной системы координат и получим:

          ,      (27)

где    ,

          ,

          .

Рассмотрев поворот векторов  и  вокруг оси  на угол , в итоге получим:

          ,      (28)

где

          ,

          , (29)

          ,

i = 1, 2, 3;   j = 2, 3, 1;   k = 3, 1, 2.

Соотношения (29) можно записать в векторном виде:

          ,   j = 1, 2, 3.       (30)

С использованием символов Кронекера и Леви–Чивита соотношения (29) можно представить в виде:

          , (31)

          i = 1, 2, 3;     j = 2, 3, 1;     k = 3, 1, 2.

В частном случае поворота относительно оси, направленной вдоль одного из ортов, соотношения (29) переходят в известную матрицу поворота.

Одной из первых публикаций с описанием конечного поворота в таком виде следует считать статью Аргириса [11]. В ней вектор конечного поворота называется псевдовектором , поскольку проекции вектора  на орты , ,  не являются углами поворота относительно этих осей. Проекции вектора конечного поворота на координатные оси равны углам поворота только для малых углов поворота. В этом случае из (30) получим:

          ,    j = 1, 2, 3. (32)

С помощью описания поворота в виде (29) может быть однозначно определена конечная ориентация произвольной тройки ортов при повороте относительно произвольной оси на любой угол.

Если известна конечная ориентация тройки ортов, т.е. матрица , может быть решена обратная задача – восстановлено направление оси и угол, на который осуществлен поворот. Считаем, что угол поворота  не превосходит p. Тогда:

          ,

          ,

          ,     ,

          ,     .    (33)

Здесь и далее функция  берется в смысле главного значения.

При составлении алгоритма расчета по формулам (33) нужно учесть особенности поведения соответствующих функций. Для w ® 0 прослеживается очевидная асимптотика. При  матрица  становится симметричной, , , и вместо формул (33) при вычислении компонентов вектора поворота нужно использовать формулу:

          ,    .   (34)

Если при этом , то знаки у компонентов вектора можно брать любые – это поворот относительно одной из координатных осей и здесь при повороте на такой угол теряется смысл направления вращения. Если , то поворот осуществлен около оси, не совпадающей ни с одной координатной осью. Соответствие знаков у компонентов вектора поворота может быть выяснено с помощью соотношений , . В этом случае также теряется смысл направления вращения. По такой информации восстанавливается два противоположно направленных вектора поворота, которые соответствуют одной и той же ориентации повернутой тройки ортов.

Запишем вектор поворота твердого тела в виде . Поскольку , получим:

          ,     .         (35)

Таким образом,  – проекции вектора поворота на подвижные оси совпадают с проекциями этого вектора на неподвижные оси.

Вектор поворота связан с классическими описаниями поворота – параметрами Родрига–Гамильтона и углами Эйлера.

Параметры Родрига–Гамильтона можно выразить через проекции вектора поворота (для этих параметров используем обозначения  из [4]):

          ,   ,   ,   .         (36)

Обратные зависимости имеют вид:

          ,   ,   ,

          .     (37)

Связь параметров Родрига–Гамильтона с углами Эйлера , ,  (углы прецессии, нутации и чистого вращения) выглядит следующим образом:

          ,    ,

          ,    .    (38)

Связь проекций вектора поворота с углами Эйлера можно выразить в виде:

          ,

          ,

          ,

          . (39)

Углы Эйлера могут быть выражены через проекции вектора поворота:

          ,

          ,

    .  (40)

Соотношения (40) можно представить в виде:

          ,   ,   ,  

          ,   .       (41)

Таким образом, если известен вектор поворота, то могут быть восстановлены углы Эйлера, поворот на которые приведет к такой же конечной ориентации поворачиваемого трехгранника.

В приведенных выше формулах  (угол прецессии) – это угол поворота вокруг оси ,  (угол нутации) – угол поворота вокруг оси  (такое положение займет вектор  после поворота трехгранника вокруг оси  на угол ),  (угол чистого вращения) – угол поворота трехгранника вокруг оси  (такое положение займет вектор  после двух предыдущих поворотов).

Итак, поворот твердого тела в пространстве можно определить тремя параметрами , ,  – проекциями вектора конечного поворота на глобальные оси.