Название: Статика пространственных криволинейных стержней (В.Е. Левин)

Жанр: Технические

Просмотров: 1291


2.1. деформирование

пространственной кривой

Как уже отмечалось (см. [12]), в рамках рассматриваемой модели стержня описание его деформирования сводится к описанию деформирования его осевой линии.

Рассмотрим пространственную кривую, заданную параметрическим уравнением

          ,         (42)

где  – орты глобальной системы координат, s – естественная координата – длина вдоль кривой.

Свяжем с каждой точкой  кривой (42) тройку ортов:

          ,   . (43)

Орт  направим по касательной к кривой в сторону роста , орты ,  лежат соответственно в плоскости, перпендикулярной .

Способ выбора векторов  и  определяется существом задачи. Например, при рассмотрении деформирования пространственного криволинейного стержня орты ,  направляют вдоль главных осей инерции его поперечного сечения. Иногда в качестве векторов  берутся орты естественного трехгранника – это векторы касательной, нормали и бинормали. При деформировании кривой тройка ортов  перейдет в тройку ортов ,  (рис. 3). Считаем, что векторы  и  останутся ортогональными к кривой. Наряду с ортами ,  с текущей точкой кривой свяжем орты , ориентированные параллельно соответствующим осям глобального базиса, и опишем их поворот при деформировании кривой:

          ,      (44)

где  – матрица-функция длины стержня, которую можно задать тремя функциями длины, например, углами Эйлера или компонентами вектора конечного поворота.

Для дальнейшего важно, что преобразование (44) сохраняет длины векторов, а матрица поворота является функцией длины стержня и пока не важно, как определяется поворот.

Конкретные формулы представления поворота потребуются при решении системы уравнений, описывающих деформирование криволинейного стержня, и при построении функций формы конечного элемента. Следует отметить, что никаких ограничений на величину поворота в (44) не накладывается.

Рис. 3. Деформирование бесконечно малого элемента кривой

 

Взаимная ориентация векторов  и ,  и  одинакова, поэтому можно записать:

          . (45)

Формулы связи между векторами ,,  имеют вид:

          ,

             (46)

          .

Необходимые производные векторов могут быть выражены с помощью соотношений (46). Например:

          .      (47)

Рассмотрим произвольный вектор . Найдем связь между проекциями вектора на различные оси. Используя формулы (46), получим:

          ,   ,   ,   .       (48)

В результате деформации текущая точка  пространственной кривой займет новое положение, определяемое радиусом-вектором:

          .     (49)

Рассмотрим поворот малого элемента кривой – вектора :

          .    (50)

В результате поворота вектора  его координаты в поворачивающемся базисе не изменятся:

          .     (51)

С учетом растяжения кривой получим:

          ,         (52)

где  – относительная деформация растяжения кривой.

Поскольку , из (50) и (52) следует:

          . (53)

В проекциях на глобальные оси:

          ,    k = 1, 2, 3.    (54)

Соотношение (54) связывает перемещение пространственной кривой с ее пространственным изгибом, который описывается как матрица-функция поворота бесконечно малой окрестности текущей точки кривой.

Отметим, что вследствие использования проекций перемещения на глобальные оси в соотношения (54) не входят кривизны. Аналогичная ситуация возникает и при расчете оболочек. Общая формулировка проблемы дана в книге В.Л. Бидермана [2, с. 270]: «Неудобством системы уравнений теории оболочек является то, что силы и перемещения отнесены к локальной системе координат, поэтому коэффициенты системы терпят скачки в точках, где меняется кривизна меридиана. Если меридиан оболочки состоит из нескольких участков с угловыми точками между ними, то необходимо составлять уравнения совместности для различных участков. Эти трудности можно обойти, если перейти к глобальным координатам, единым для всей оболочки. Тогда коэффициенты уравнений не содержат кривизны меридиана, поэтому они остаются непрерывными даже для оболочки, кривизна которой терпит разрыв».

Новые глобальные координаты точки пространственной кривой после деформирования будут:

          .    (55)

Продифференцируем (55) по :

          .          (56)

Из (56) следует, что

          ,   (57)

где .

Уравнения (57) можно разрешить относительно :

          . (58)

Соотношения (57), (58) связывают геометрию деформированной и недеформированной кривой.

При использовании пространственной кривой в качестве расчетной модели в задачах о деформировании стержней и оболочек необходимо количественно определить изменения кривизн и изменение кручения этой кривой. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Традиционно при рассмотрении вопроса о кривизне и кручении кривой используется естественный трехгранник, который определяется по уравнению кривой (42). Это единичные векторы касательной , нормали  и бинормали . На основании изменяемости этих векторов вдоль пространственной кривой вводятся понятия ее кривизны  и кручения . В соответствии с формулами Френе:

          ,    ,           (59)

можно получить:

          . (60)

Векторы  (43) и  лежат в одной плоскости. Связь между ними имеет вид:

                (61)

где a – угол между векторами  и  (рис. 4).

 

Рис. 4. Оси, связанные с сечением, перпендикулярным

к пространственной кривой

 

Кривизны ,  в направлениях векторов ,  и кручение  пространственной кривой вычислим по формулам:

          ,

          ,

          .        (62)

При деформировании пространственной кривой тройка ортов  переместится в положение  и сохранит свою ориентацию относительно тройки , ,  – эти две тройки векторов жестко связаны с кривой. Вследствие этого кривизны и кручение деформированной кривой могут быть вычислены аналогично:

          ,

          ,      (63)

          ,

где , e – деформация вдоль пространственной кривой;  – новое положение ортов  после деформации кривой.

В формулах (63) пренебрежем влиянием деформации e вдоль кривой на ее кривизны и кручение. Приращения кривизн и кручения при деформировании кривой будем вычислять по формулам:

          ,

          ,       (64)

          .

Таким образом, для того чтобы найти деформации пространственной кривой, нет необходимости в обязательном нахождении векторов естественного трехгранника в исходном и деформированном ее состояниях. Для описания искривлений и приращения кручения кривой достаточно следить за любой другой тройкой векторов (43), связанной с кривой.

Преобразуем (63). Используя (43) и (45), получим:

          ,

          ,     (65)

          .

Так как в силу свойств матрицы поворота:

          ,

то      ,

          ,

          .      (66)

Обратим внимание на то, что в выражения для приращений кривизн и кручения в (66) не входят кривизны исходной недеформированной кривой, что является основанием для единого рассмотрения деформирования кривых с изломами и скачками кривизны. Такой результат получен вследствие задания векторов в виде (43) и поворота этих векторов в виде (45).

Полученные результаты верны для произвольных поворотов.

Естественным приложением полученных результатов по деформированию пространственной кривой является задача деформирования пространственных стержней.

Пространственный криволинейный стержень – распространенный элемент в конструкциях. Перечислим некоторые области применения стержней: системы амортизации, чувствительные элементы в системах измерения, упругие элементы в приборах времени, элементы подкрепления тонкостенных конструкций и т.д. [7, 8].

В рамках гипотезы Бернулли задача о деформировании стержня сводится к задаче деформирования его осевой линии. Полагаем, что материал стержня подчиняется закону Гука. Иногда вводят предположение о нерастяжимости осевой линии стержня и рассматривают деформирование гибких стержней [7, 8]. Нагруженный стержень может сильно изменить свою первоначальную конфигурацию, поэтому задачу определения его перемещений в общем случае нужно ставить как геометрически нелинейную.