Название: Статика пространственных криволинейных стержней (В.Е. Левин)

Жанр: Технические

Просмотров: 952


2.2. уравнения деформирования

пространственного стержня

при больших перемещениях и поворотах

В задаче о деформировании стержня в качестве векторов ,  берутся главноцентральные оси поперечного сечения [7]. На практике достаточно задать закон изменения вдоль осевой линии одного из векторов  или . Другой вектор определяется из условия ортогональности в правой тройке векторов , . При записи системы полных уравнений деформирования криволинейного стержня кроме уравнений равновесия потребуются уравнения связи перемещений и поворотов, а также соотношения упругости, связывающие приращения кривизн с внутренними моментами.

Векторные уравнения равновесия криволинейного стержня, записанные для деформированного состояния, имеют вид [7]:

          ,

          ,   (67)

где  – вектор внутренних сил;  – вектор внутренних моментов;  – вектор распределенной внешней нагрузки;  – вектор распределенного внешнего момента;  – соответствие дифференциалов длины оси деформированного и недеформированного стержня.

Вектор момента можно записать в виде разложений в разных координатных системах:

          ,    

          ,      . (68)

Соотношения упругости – связь моментов с приращениями кривизн – выглядят следующим образом:

          ,

          ,   (69)

          ,

где ,  – изменения кривизн осевой линии, обусловленные изгибом относительно осей , ;  – изменение кручения кривой; , ,  – жесткости стержня на изгиб и кручение.

Используя (68), перепишем (69):

          ,

          ,          (70)

          .

Обозначим параметры, которые определяют поворот каждой точки стержня, через , .

Объединяя соотношения (54), (70) и проектируя систему уравнений равновесия (67) на глобальные оси, получаем следующую полную систему уравнений, описывающих поведение пространственного криволинейного стержня при больших перемещениях и поворотах:

          ;

          ;

          ;

          ;

          ;

          ;    (71)

          ;

          ;

          ;

          ;

          ;

          .

Определим осевую силу  в сечении деформированного стержня:

          . (72)

При выполнении закона Гука:

          ,    ,   (73)

где  – жесткость стержня на растяжение. Деформация растяжения оси криволинейного стержня определяется поворотами трехгранника, связанного с осью, внутренними силами и жесткостью стержня на растяжение.

Для замыкания системы уравнений (71) нужно выбрать закон, по которому вычисляются компоненты матрицы поворота . Если в качестве ,  взять проекции вектора конечного поворота, то формулы для производных  примут вид:

          ,

         

          ,

         

          ,         (74)

          i = 1, 2, 3;    j = 1, 2, 3;    k = 1, 2, 3.

Выпишем формулы для компонентов матрицы поворота:

          ,

          ,

          ,         (75)

          ,     i = 1, 2, 3;     j = 2, 3, 1;    k = 3, 1, 2 ,

           – вектор конечного поворота.

Разрешающими функциями в системе уравнений (71) являются:

– глобальные проекции внутренних сил;

– глобальные проекции внутренних моментов;

– глобальные проекции вектора поворота каждой точки стержня;

– глобальные проекции вектора перемещений точек осевой линии.

Характерная особенность выписанных уравнений заключается в отсутствии кривизн, что позволяет описывать стержни со скачками в кривизнах и изломами осевой линии (геометрия задается по участкам).

При использовании для описания поворота вектора конечного поворота система уравнений (71) описывает любую конфигурацию деформированного пространственного криволинейного стержня, поскольку ограничений на вектор поворота  нет.

Если не поставлено краевых условий на перемещения, деформирование стержня полностью определяется вектором поворота тройки ортов, связанных с каждой его точкой. Если найден этот вектор-функция длины, перемещения восстанавливаются простым интегрированием.

Рассмотрим параметрические уравнения осевой линии стержня в виде

          ,            (76)

где  – произвольный параметр.

Дифференциал длины имеет вид

          .     (77)

Уравнения (71) можно переписать соответствующим образом:

          ;

          ;

          ;

          ;

          ;

          ;         (78)

          ;

          ;

          ;

          ;

          ;

          .