Название: математические методы планирования эксперимента (А.А. Попов, Д.В. Лисицин)

Жанр: Педагогика

Просмотров: 1719


Оптимальное планирование эксперимента и оценивание параметров для моделей с качественными и разнотипными переменными

 

1. Цель работы

 

Изучить методику приведения моделей с качественными и разнотипными переменными к моделям полного ранга, методы оптимального планирования эксперимента и оценивания параметров для моделей данного типа.

 

2. Содержание работы

 

                1. Изучить методику приведения моделей с качественными и разнотипными переменными к моделям полного ранга и основанные на использовании редуцированных моделей методы оптимального планирования эксперимента и оценивания параметров.

2. Заданную модель объекта привести к модели полного ранга, т.е. определить базис ФДО.

3. Построить дискретный оптимальный план эксперимента для редуцированной модели.

4. По полученному оптимальному плану сгенерировать экспериментальные данные путем моделирования отклика с уровнем шума 15\%–20\% и выбранными истинными значениями для ФДО, входящих в модель. Все эффекты уровней считать значимыми.

5. Оценить параметры редуцированной модели.

6. Оформить отчет, включающий в себя постановку задачи, полученный базис ФДО, оптимальный план, оценки параметров и текст программы.

7. Защитить лабораторную работу.

 

3. Методические указания

 

Пусть модель наблюдения имеет вид

 

,

 

где  - -мерный вектор наблюдений за откликом, измеряемом в количественной шкале;  – -матрица наблюдения, порождаемая качественными факторами ;  и  - векторы неизвестных параметров, подлежащих оцениванию;  матрица наблюдения, порождаемая количественными факторами;  - вектор ошибок наблюдений. Ошибки наблюдений являются независимыми случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и одинаковой дисперсией.

                Качественные факторы в матрице наблюдения кодируют обычно набором бинарных псевдопеременных, каждая из которых может принимать только два возможных значения: 1 или 0. Число этих псевдопеременных определяется числом уровней варьирования качественных факторов. Так, если некоторый фактор  имеет  уровней варьирования , то в модель вводятся псевдопеременные .

Различают две разновидности качественных шкал: номинальную и порядковую.

Если качественный фактор измерен в номинальной шкале, то псевдопеременные принимают значения 1 или 0 в зависимости от того, находился ли в данном эксперименте фактор на заданном уровне или нет, т.е. псевдопеременная  принимает значение 1 в случае  и 0 – в случае .

Если качественный фактор измерен в порядковой шкале, то используется кодировка, когда псевдопеременная  принимает значение 1 в случае  и 0 – в случае .

 

Пример. Пусть имеются два качественных фактора, первый имеет два уровня варьирования, а второй – три. Матрицу наблюдения  для полного факторного эксперимента (ПФЭ) в случае, если факторы номинальные обозначим , а в случае, если факторы порядковые – . Первый столбец каждой матрицы соответствует свободному члену, следующие два столбца кодируют первый фактор, а последние три – второй фактор. Данные матрицы имеют следующий вид:

 

, .

 

При используемом способе задания матрицы  она всегда имеет дефект ранга: . В нашем примере .

Назовем дефект ранга внутренним, если он является следствием только способа кодировки качественных факторов, и внешним, если он является следствием ущербности реализованного плана эксперимента. Заметим, что матрица , определяемая факторами количественной природы, внутреннего дефекта ранга не имеет.

Рассмотрим методику редуцирования исходной модели к модели полного ранга. К редуцированной модели можно применять методы анализа линейных регрессионных моделей.

Проведем факторизацию матрицы , представив ее в виде , где  – -матрица полного столбцового ранга, а  – -матрица полного строчного ранга. Тогда уравнение редуцированной модели имеет вид

 

,

 

где через  обозначен -мерный вектор параметров. Вектор  состоит из функций, допускающих оценку (ФДО), и, будучи расширенным за счет вектора , элементы которого также являются ФДО, составляет базис ФДО. Факторизацию всегда можно провести так, что матрица  будет сформирована из линейно независимых столбцов матрицы .

                Запишем модель, содержащую только порядковые или номинальные факторы, в виде

 

, , , ..., ,

 

где  – среднее, , , ...,  – эффекты рангов или уровней факторов,  – число рангов или уровней соответствующих факторов.

                В случае, когда дефект ранга матрицы  является внутренним, вектор  состоит из следующих компонент:

                а) в случае номинальных факторов

 

,

 

, , ..., ,

 

, , ..., ,

.     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .

, , ..., ;

 

                б) в случае порядковых факторов

 

,

 

, , ..., ,

 

, , ..., ,

.     .     .     .     .     .     .     .     .     .

, , ..., .

 

В матрицу  войдут при этом все столбцы матрицы , за исключением тех, которые соответствуют параметрам  в исходной модели. Например, если фактор  кодируется псевдопеременными , то из матрицы  должна быть исключена псевдопеременная .

МНК-оценки параметров ,  редуцированной модели вычисляются по формуле

 

.

 

Рассмотрим задачу планирования эксперимента для моделей с качественными и разнотипными переменными. Пусть у исследователя имеется принципиальная возможность провести эксперимент в  точках факторного пространства. Однако из-за различных причин ему необходимо сократить число опытов до . Необходимо оптимальным в некотором смысле образом выбрать эти  точек из  возможных.

Для определенности вначале рассмотрим задачу планирования эксперимента для модели с качественными переменными. Определенную трудность при решении данной задачи вызывает тот факт, что модель является моделью неполного ранга. Ключом к решению проблемы является использование редуцированной модели полного ранга.

Редуцированная модель выписывается относительно базиса ФДО. Если в качестве плана эксперимента для редуцированной модели рассматривается ПФЭ, то для него базис ФДО в точности совпадает с соответствующим базисом ФДО, приведенным выше.

В отличие от ПФЭ, произвольный план может увеличить дефект ранга модели. Возникает вопрос: существуют ли планы в виде выборки из ПФЭ, не привносящие в модель внешний дефект ранга и оставляющие тем самым неизменным вид базиса ФДО? Ответ на это вопрос дает следующее утверждение.

Утверждение. Существует насыщенный план с числом наблюдений , составленный из точек ПФЭ, для которого базис ФДО совпадает с базисом ФДО для ПФЭ.

Приведенное утверждение дает возможность рассматривать задачу планирования для моделей с качественными и разнотипными переменными с позиций общей теории оптимального планирования эксперимента, развитой для моделей регрессионного типа.

Проведем постановку задачи построения оптимальных планов для моделей с качественными и разнотипными переменными.

Если обозначить множество точек, доступных для выбора плана для всей редуцированной модели, через , множество допустимых точек для качественных факторов – через , множество допустимых точек для количественных факторов при заданном множестве  – через , то имеет место соотношение , т.е.  есть прямое произведение множеств  и . Обозначим через  -ю строку матрицы , где  – вектор, составленный из независимых переменных, соответствующих столбцам матрицы , и количественных факторов, ответственных за .

План эксперимента, состоящий из  точек, обозначим . Информационная матрица, соответствующая этому плану, будет вычисляться по известной формуле

 

.

 

План , оптимальный относительно некоторого функционала , будет находиться как решение экстремальной задачи

 

.

 

Количественные факторы, входящие в , могут варьироваться в непрерывной шкале, однако при решении задачи отыскания оптимального плана  удобнее область изменения количественных факторов дискретизировать. Для поиска оптимального плана в этом случае необходимо воспользоваться одним из алгоритмов построения дискретных оптимальных планов на дискретной области планирования.

 

4. Варианты заданий

 

1. Поведение объекта моделируется воздействием трех качественных переменных номинального типа с четырьмя, пятью и шестью уровнями варьирования.

2. Поведение объекта моделируется воздействием трех качественных переменных порядкового типа с тремя, пятью и шестью уровнями варьирования.

3. Поведение объекта моделируется воздействием количественной переменной (квадратичная зависимость) и аддитивным влиянием двух качественных переменных номинального типа с тремя и пятью уровнями варьирования.

4. Поведение объекта моделируется воздействием четырех качественных переменных номинального типа с тремя уровнями варьирования по каждому фактору.

5. Поведение объекта моделируется воздействием трех качественных переменных порядкового типа с тремя уровнями варьирования по каждому фактору.

6. Поведение объекта моделируется воздействием количественной переменной (кубическая зависимость) и аддитивным влиянием двух качественных переменных номинального типа с тремя уровнями варьирования.

 

5. Контрольные вопросы

 

1. Линейные модели с качественными факторами. Оценивание параметров.

2. Параметрические функции, допускающие оценку.

3. Приведение моделей с качественными факторами к моделям полного ранга. Базис ФДО. Примеры построения базиса ФДО.

4. Оценивание параметров и ФДО в редуцированных моделях.

5. Планирование эксперимента для моделей с качественными факторами.