Название: математические методы планирования эксперимента (А.А. Попов, Д.В. Лисицин)

Жанр: Педагогика

Просмотров: 1719


Построение дискретных оптимальных планов эксперимента

 

1. Цель работы

 

Изучить алгоритмы, используемые при построении дискретных оптимальных планов.

 

2. Содержание работы

 

1. Изучить алгоритмы построения дискретных оптимальных планов.

2. Разработать программу построения дискретных оптимальных планов эксперимента, реализующую заданный алгоритм.

3. Осуществить выбор оптимальной сетки: Область планирования дискретизировать в нескольких вариантах с различным числом узлов сетки (например, 100, 200, 300 узлов). Выбрать "оптимальную" с точки зрения качества получаемых планов плотность сетки разбиения. Число точек в плане должно быть не менее трехкратного числа параметров в модели. В планах не должно быть повторных точек.

4. На оптимальной сетке построить ряд планов с разным числом наблюдений и построить график изменения функционала качества плана от числа точек в плане.

3. Оформить отчет, включающий в себя постановку задачи, результаты проведенных в п.п. 3, 4 исследований, текст программы.

4. Защитить лабораторную работу.

 

3. Методические указания

 

С понятием дискретного оптимального плана  связывают план с заданным числом  наблюдений. Необходимость построения дискретных оптимальных планов обуславливается тем, что непрерывные оптимальные планы в общем случае при реализации могут потребовать значительного числа наблюдений. Непрерывные оптимальные планы с произвольными весами  имеют в большей степени теоретическое значение, на практике же в основном рассматриваются дискретные планы.

Выделяют следующие типы алгоритмов синтеза дискретных планов: прямые алгоритмы, основанные на применении нелинейной оптимизации, алгоритмы замены и алгоритмы последовательного типа.

Пусть область действия факторов представляет собой дискретное множество точек . Задача построения -оптимального плана  с  наблюдениями имеет вид

 

               

 

с .

Рассмотрим алгоритмы замены точек, предназначенные для синтеза -оптимальных дискретных планов.

 

Алгоритм Федорова.

1. Выбирается невырожденный начальный план  и малая константа , .

2. Выбирается пара точек: , принадлежащая плану , и , не принадлежащая плану, по правилу

 

,

 

где

 

,

 

, .

 

3. Величина  сравнивается с . Если , то вычисления прекращаются, в противном случае осуществляется переход на шаг 4.

4. Точка  заменяется в плане на точку. В результате получается новый план . Далее,  заменяется на  и осуществляется переход на шаг 2.

Оптимизационная процедура, выполняемая на шаге 2, может оказаться слишком трудоемкой в вычислительном плане, поэтому ее можно заменить на поиск первой пары точек , замена которых приводит к увеличению величины .

 

Алгоритм Митчела.

1. Выбирается невырожденный начальный план  и малая константа , .

2. Выбирается точка , не принадлежащая плану , по правилу

 

,

 

где .

                3. Точка  добавляется в план . В результате формируется план , состоящий из  точек.

4. Выбирается точка , принадлежащая плану , по правилу

 

.

 

5. Точка  исключается из плана . В результате формируется план .

6. Если точка , выбранная на шаге 2, совпадает с точкой , выбранной на шаге 4, то вычисления прекращаются, в противном случае  заменяется на  и осуществляется переход на шаг 2.

 

Градиентный алгоритм замены не ориентирован на какой-либо определенный критерий оптимальности.

1. Выбирается невырожденный начальный план , .

2. Вычисляются величины

 

, ,

 

для плана , , .

3. Выбирается точка  на множестве  по правилу

 

.

 

4. Среди точек плана  выбирается точка  по правилу

 

.

 

5. Точка  заменяется в плане  на точку . В результате формируется план .

6. Сравниваются величины  и :

а) если , то  заменяется на  и осуществляется переход на шаг 3, при этом точки  и  исключаются из рассмотрения;

б) в противном случае: если , то вычисления прекращаются, иначе -  заменяется на  и осуществляется переход на шаг 2.

 

Алгоритм достраивания относится к алгоритмам последовательного типа. В данном алгоритме план эксперимента строится последовательным добавлением точек в соответствии с выбранным критерием оптимальности, начиная с выбора первой точки.

Рассмотри вариант алгоритма достраивания, ориентированный на синтез -оптимальных дискретных планов.

Обозначим план эксперимента, состоящий из  точек, через . Информационная матрица плана  при  ( – число неизвестных параметров) будет вырожденной. Применим регуляризацию по единичной матрице, введя в рассмотрение матрицу

 

,

 

где  – некоторый малый положительный параметр регуляризации. При , когда план не содержит ни одной точки, получаем .

                На очередном шаге алгоритма в план включается точка , которая находится как решение оптимизационной задачи

 

,

 

где  - область действия факторов .

Для того, чтобы на -м шаге мы получили невырожденную информационную матрицу , необходимо на каждом шаге обеспечивать возрастание ранга матрицы . Обычно для этого достаточно, чтобы все  включенных точек были различны.

 

4. Варианты заданий

 

1. Модель квадратичная на кубе со сторонами [–1, +1]. Строить - оптимальные планы. Алгоритм Федорова.

                2. Модель квадратичная на кубе со сторонами [–1, +1]. Строить - оптимальные планы. Градиентный алгоритм замены.

                3. Модель квадратичная на кубе со сторонами [–1, +1]. Строить - оптимальные планы. Алгоритм Митчелла.

                4. Модель кубическая на кубе со сторонами [–1, +1]. Строить - оптимальные планы. Алгоритм Федорова.

                5. Модель кубическая на кубе со сторонами [–1, +1]. Строить - оптимальные планы. Градиентный алгоритм замены.

                6. Модель кубическая на кубе со сторонами [–1, +1]. Строить - оптимальные планы. Алгоритм Митчелла.

 

5. Контрольные вопросы

 

1. Построение дискретных планов путем "округления" непрерывных оптимальных планов.

2. Алгоритм Федорова синтеза дискретных -оптимальных планов.

3. Алгоритм Митчелла синтеза дискретных -оптимальных планов.

4. Градиентный алгоритм замены для построения дискретных оптимальных планов.

5. Алгоритм достраивания для построения дискретных оптимальных планов.