Название: Планиметрия - Практические занятия (В.Г. Голобокова, О.М. Кравец, А.А. Осокина,)

Жанр: Гуманитарные

Просмотров: 1125


Хii. свойства вписанных и описанных треугольников и четырехугольников

 

Многоугольник, все вершины которого принадлежат окружности, называется вписанным в окружность,  а окружность – описанной около не-го. Многоугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около окружности,  а окружность – вписанной в него.

Теоремы: 1) около любого треугольника можно описать единственную окружность, центром которой является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; 2) во всякий треугольник можно вписать единственную окружность, центром которой является точка пересечения биссектрис этого треугольника;

3) суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны 180°; верна и обратная теорема; 4) суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой; верна и обратная теорема; 5) медиана, проведенная из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы и является радиусом описанного около треугольника круга.

 

Задачи

 

Основания равнобедренной трапеции относятся как 5: 12, высота равна 17 см. Вычислите радиус окружности, описанной около трапеции, если ее средняя линия равна высоте.

 

Решение

 

АВСD – данная вписанная трапеция (рис. 15), МН – средняя линия,. По свойству средней линии трапеции , значит,  см. По условию ВС : АD = 5 : 12. Решив систему

Рис. 15

 

получим ВС = 10 см, АD = 24 см. Данная окружность является также описанной и около треугольника АВD.

Площадь треугольника АВD можно вычислить по формулам:

 и .

Приравняв правые части формул и сократив на АD, получим .  Из треугольника  ВDК , из треугольника АВК  ,  но  см.   КD = 17 см. Тогда см,  см и   R = 13 см.

В прямоугольной трапеции острый угол α, радиус вписанной окружности r. Найдите площадь трапеции.

B равнобедренном треугольнике ABC проведена высота ВD, равная 30 см, АС : АВ = 6 : 4,5. Вычислите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Около окружности описана равнобедренная трапеция с основанием а и боковой стороной b. Найдите площадь трапеции.

В прямоугольном треугольнике известны отрезки a и b, на которые точки касания вписанного в треугольник круга делят гипотенузу.  Найдите площадь этого треугольника.

Найдите радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник с периметром  2Р и углом при основании α.

Найдите радиус вписанного круга в прямоугольный треугольник с гипотенузой  С и острым углом α.

В равнобедренном треугольнике угол при вершине α. Найдите отношение радиусов вписанного и описанного кругов.